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一道初中题-求小圆的半径

在下图中，一段圆弧的圆心在正方形的一个顶点上，正方形的边长为3，且这段圆弧经过正方形的另外两个顶点。有一个小圆即和大圆，也和正方形的两条边相切。 求这个小圆的半径。

解：这里给出两个解法

方法1.

如图中的大直角三角形， 一个斜边为4 r, 两条直角边各是4-r,

可以利用勾股定理，或者用45-45-90度的直角三角形的边的关系。

我们利用45-45-90度的等腰三角形的变的关系：

4 r=√2(4-r)

由此得出r=12-8√2

方法2：利用右上方顶角的等腰直角三角形

这个小的直角三角形的斜边为4√2-4-r, 而两条直角边都是r,

根据45-45-90度的直角三角形的边长的关系有：

4√2-4-r=√2r

解这个方程得出：

r=12-8√2

总结：对于初中的学生，若要解直角三角形，有两种方法

1. 勾股定理的应用，特别是几种特殊形式的，如3-4-5， 5-12-13等。
2. 特殊角的直角三角形，如30-60-90度，和本题的45-45-90度。