10分钟理解微积分（数学基本知识一元微积分）

在极限论中已经知道，初等函数在其自然定义域内是各点连续的，相关函数在定义域内的极限仅是计算其函数在极限点上的值即可，这是一件简单到几乎无意义的事情自然，《高等数学》不可能如此的简单，总得找一些不那么平凡的事情才可能有非凡的拓展对于某一个函数F(x)，下面引入一个相关函数来观察其函数极限：，我来为大家科普一下关于10分钟理解微积分?下面希望有你要的答案，我们一起来看看吧!

10分钟理解微积分

在极限论中已经知道，初等函数在其自然定义域内是各点连续的，相关函数在定义域内的极限仅是计算其函数在极限点上的值即可，这是一件简单到几乎无意义的事情。自然，《高等数学》不可能如此的简单，总得找一些不那么平凡的事情才可能有非凡的拓展。对于某一个函数F(x)，下面引入一个相关函数来观察其函数极限：

g(x) = (F(x0 x) - F(x0))/ x

上式中的x0暂视为一个常数。

显然，函数g(x)在其x=0的点上无定义（即此点不属于g(x)的自然定义域）。此外还可看出，若要使g(x)在x=0点上为第一类间断点（以后可以看到这是个要求满足的基本条件），就必须要求lim[x→0]F(x0 x) = F(x0)，即F(x)在x=x0点连续。现在就讨论函数g(x)在x=0点上的极限。由于g(x)在x=0点上非连续，故不可能通过此点上的函数值（g(0)无定义）得其极限。如下分几种情况讨论：

1）F(x)在x0点上不连续。显然，lim[x→0] g(x)发散。

2）F(x)在x0点上连续（即g(x)在x=0点上是个待定型），g(x)在x=0点上的左右极限发散。

3）F(x)在x0点上连续（即g(x)在x=0点上是个待定型），g(x)在x=0点上的左右极限存在但不相等。

4）F(x)在x0点上连续（即g(x)在x=0点上是个待定型），g(x)在x=0点上的左右极限存在且相等。

上述情况1和2中，g(x)在x=0点上都无极限存在。而在情况3和4中，可以通过g(x)在x=0点上所存在的左右极限来定义函数F(x)的某些特性，即以后要看到的微分（导数）。

微分其实就是极限论中的待定型，而由于待定型自身就是个随各种问题变化无穷的东西，所以说微分是个适应性很强的分析工具。

如果lim[x→0] g(x)存在，则得到一个与x0有关的数，令其为f(x0)（或F'(x0)）。再将前面暂视为常数的x0视为自变量，用x代替，则得到一个与F(x)关联的新函数f(x)（以后会知道这就是F(x)的导函数）。此地其实建立了一个映射

d/dx:X→Y

其中，X和Y为一元实函数集合，d/dx是个算符（或称算子）。显然，这不是个单射，即F(x)和F(x) C具有同一个像，其中C为常数。非单射按理无逆映射，但若忽略所相差的常数C则可建立上述映射的“逆映射”

∫:X→Y

这就是以后将介绍的不定积分——F(x) = ∫f(x)dx，这里的“不定”意指存在待定常数C。

有一类问题需要将某个整体细分，然后将各细分的部分按某种近似简化计算后再累加起来作为整体的一个近似。若随着不断地进一步细分，作为整体近似的各细分累加和可以一个无穷小量误差接近于某个定值，则取其作为累加和的极限。其实，如果将不断进一步细分的累加和视为一个数列{S(n)}，这就是个数列极限——lim[n→∞] S(n)。随着n的增加，细分项数不断地增加（最终趋于无穷），而每个细分项的绝对值随之变得更小（最终趋于零）。显然，这是个无穷多个无穷小量相加的问题，即∞*0（待定型的一种）。后面会看到，极限lim[n→∞] S(n) = S就是所谓的定积分。以后还会发现，不定积分和定积分将由牛顿-莱布尼兹公式关联。

到目前为止，所讨论的函数都是一元实函数，故相关微积分也称为一元微积分。如果一个方程中不仅含一般的初等运算，而且还含有微积分运算且相关自变量仅有一个（即一元），则称此类方程为常微积分方程。由于方程中的积分一般可以通过微分消除，因此通常将此类方程称作《常微分方程》。《常微分方程》若展开基本可以是一部相关的专著，可见其内容的丰富。常微分方程也是《高等数学》在其他学科中应用的重点。有一大类一元问题可以通过相关学科的基本原理和定律确定其相应的常微分方程，然后就是通过常微分方程的求解得到相关的理论结果。

至此，我们看到一元微积分内含有其基本的四大部分，即

1）微分

2）不定积分

3）定积分

4）常微分方程

后面将对各部分分别作相应的介绍。