数学中考压轴题20道及答案(掌握这些简便的解法)

这道中考数学压轴题,涉及到抛物线的平移,三角形的最大面积,以及抛物线上的平行四边形的存在性问题。每一个问题,老黄都要用最简便的方法,给大家演示一下解法。

将抛物线y=ax^2(a≠0)向左平移1个单位,再向上平移4个单位后,得到抛物线H:y=a(x-h)^2 k.抛物线H与x轴交于点A,B, 与y轴交于点C. 已知A(-3,0),点P是抛物线H上的一个动点.

(1)求抛物线H的表达式;

(2)如图1,点P在线段AC上方的抛物线H上运动(不与A,C重合),过点P作PD⊥AB,垂足为D,PD交AC于点E. 作PF⊥AC,垂足为F,求△PEF的面积的最大值;

(3)如图2,点Q是抛物线H的对称轴l上的一个动点,在抛物线H上,是否存在点P,使得以点A,P,C,Q为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,说明理由.

数学中考压轴题20道及答案(掌握这些简便的解法)(1)

分析:(1)直接求H的解析式,不如把A点平移回去,代入原抛物线解析式,求a值那么简便。

(2)主要利用三角形PEF和三角形ACO相似,三角形ACO的面积一定,所以PE越大,相似比越大,三角形PEF的面积就越大。PE最大时,三角形PEF的面积就最大。这样解会简便得多。

(3)分成两种情况,三种情形。一种情况是PQ为对角线时,利用PQ的中点就是AC的中点求P点的坐标,非常简捷。一种情况是PQ为边时,又分成P点在对称轴两侧两种情形。利用平行四边形对边两个端点的横坐标差相等来求,也特别简捷。本来对边两个端点的纵坐标差也必须是相等的,但Q点的纵坐标可取任意值,所以纵坐标方面是一定能满足的,并不需要特别申明。

下面组织解题过程:

解:(1)平移前A点的位置为(-2,-4),

-4=4a, a=-1,

抛物线H的表达式为:y=-(x 1)^2 4.

(2)C(0,3), 直线AC的解析式为:y=x 3,

AC=根号(OA^2 OC^2)=3根号2.

设P(p,-(p 1)^2 4), 则E(p,p 3),

PE=-(p 1)^2 4-(p 3)=-(p 3/2)^2 9/4.

当p=-3/2时, PE=9/4最大.

又△PEF∽△ACO, 且PE/AC=3根号2/8.

∴S△PEF=9S△ACO /32=9OA·OC/64=81/64最大.

(3)可设Q(-1,q), 当PQ是平行四边形APCQ的对角线时, PQ的中点坐标为(-1.5,1.5),

p-1=-3,解得p=-2,-(p 1)^2 4=3,

数学中考压轴题20道及答案(掌握这些简便的解法)(2)

当PQ是平行四边形ACPQ的边时,p=-1-(-3)=2,-(p 1)^2 4=-5,

数学中考压轴题20道及答案(掌握这些简便的解法)(3)

当PQ是平行四边形ACQP的边时,-3-p=-(-1),解得p=-4, -(p 1)^2 4=-5,

∴P(-2,3)或(2,-5)或(-4,-5).

这类压轴题型在中考数学中出现的概率是很高的。掌握了这些简便的解决方法,对中考数学是非常有帮助的。

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