概率论极大似然估计值怎么求（趣学概率论之蒙提霍尔问题）

首先，我们先了解一下什么是蒙提霍尔问题，这个问题出自国外的一个电视游戏节目，又名三门问题。

该节目的主持人叫蒙提·霍尔，参赛者会看到三扇紧闭的门，其中一扇门后边有一辆汽车，选中后面有车的那扇门可以赢得该汽车，另外两扇门后面各有一只山羊。当参赛者选定一扇门但尚未开启时，节目主持人会开启剩下的两扇门中的一扇，这扇门后边有一只山羊。这时，剩下的两扇门，包括参赛者选择的那扇门之后，有一辆汽车和一只山羊，主持人会问参赛者是否要选择另一扇门。

那么问题来了，参赛者是否应该更换自己的选择呢？换言之，换一扇门能否增加参赛者赢得汽车的概率呢？

从直觉来讲，三扇门之后藏有汽车的概率都是一样的，那我们是否更换选择应该不会影响我们赢得汽车的概率。但是事实果真如此吗？

我们来分析一下。

在最开始的时候，无论选择哪一扇门，门后是汽车的概率都是1/3，这没什么好说的。但是在主持人排除了一扇山羊门之后，我们再重新考虑下。

1. 假如我们最初的选择就是汽车门，这个概率有1/3，那么只要我们更换选择，那大奖就与我们无缘了，因此更换选择获奖的概率为1/3 * 0 = 0；
2. 假如我们最初的选择是空门，这个概率有2/3。这时，由于主持人排除了另一扇山羊门，因此，只要我们更换选择，那么命中大奖的概率就是1，整体的获奖概率为2/3 * 1 = 2/3。
3. 两者相加，0 2/3 = 2/3，也就是说，在没有开天眼的情况下，我们更换之后获奖的概率为2/3。

是不是很不可思议？我们以为的概率相等，但其实概率并不相等？按照我们的直觉，排除了一扇山羊门之后，剩下的两扇门，一扇有汽车大奖，另一扇没有，那我们换与不换的获奖概率都应该是50%才对啊。这么想没错，但是立足点不对。

假如我们是在主持人排除了一扇门之后才开始做选择，那么不管选择哪扇门，获奖的概率都是50%，因为我们的选项里从来都没有那扇被主持人排除掉的门。

但是考虑到我们最初的选择是三扇门，问题就不一样了。

首先，无论我们选择了哪扇门，获奖的概率都是1/3，在最开始我们就已经清楚了这一点；也就是说，大奖在另外两扇门之后的概率是2/3。

那么，假如主持人没有排除其中的一扇山羊门，允许你同时选择另外两扇门，你会换吗？问题是不是清晰了很多？从做出第一个选择的时候，结果就已经确定了。即车在我们选择的门后边的概率是1/3，不在我们选择的门后边的概率是2/3。主持人排除了一个选择，但是车子在这两扇门之后的概率仍然是2/3，跟他是否排除错误选择没有任何关系。

也就是说，剩下的那扇门，不是一扇门在战斗！它不是一扇门！这一刻！它被另一扇门附体！它承载了另一扇门的梦想！也承载了另一扇门的获奖概率！

本来，汽车门在这两扇门中任意一扇门之后的概率都是2/3 * 1/2 = 1/3，现在主持人告诉了我们一种一扇门不是，那这扇门能获奖的概率就是2/3 * 0 = 0，而另一扇门的获奖概率则变成了2/3 * 1 = 2/3。

如果看到这里，你看是没明白，那我们就再考虑一种情况。

假设有100扇门，我们选择了其中一扇门，我们获奖的概率是1/100。这时，我们把这100扇门划分成两部分，一部分是我们选择的那一扇门，另一部分是剩下的99扇门。毫无疑问，大奖在第二部分的概率为99%。那么我们把第二部分打包带走，一扇一扇门地排除，巧了前98扇门都没有大奖。但是，还记得我们最初的判断吗？不管后边发生什么结果，大奖在第二部分的概率是99%！也就是说，最后仅剩的这两扇门，第一部分的那一扇，获奖的概率只有1%，而另一扇门获奖的概率则是99%！

所有的概率，都在最开始的时候就已经决定了，跟之后的操作没有任何关系。

想一想我们喜欢吃的小浣熊。假如一百包中，只有一包有个大奖，我们买了其中的99包。我们拆了1包，没有中奖。那奖品在剩下的98包中的概率变化了吗？没有，从整体来看，还是99%！我们一包包地拆开，一直没中奖，那我们中奖的概率变化了吗？没有！大奖在这99包中的概率从始至终都没有变过，一直是99%！

概率是不是很神奇？如果你对概率论感兴趣，想学到更多概率论甚至统计学习、机器学习相关的知识，可以关注我，有问题也可以在下方留言，我们一起探讨！

关于三扇门问题，你认同我的结果吗？