如何进行年级间的排序（如何向六年级的学生解释）

首先，要说明一下：在数学和物理中，很多时候证明就是解释的一部分甚至全部，但反过来，解释并不一定需要证明。

在学习方面，很多人有一种非常错误的认识：就是把所有的精力直接、全部放到考试的内容上，才是最高效的教学。

家长和学生有这样的错觉很正常，因为前者不具备专业知识，后者最多算是个学徒。

可怕的是：大部分专职老师也持这样的态度。

也许这种思想就是某些老师认可并在践行的思想，也有可能是一部分老师在当今社会分数至上的巨大压力下，不得已选择的教育方法。

就像“如何向六年级的学生解释（-1）×（-1）=1？”这个问题，基本上不会出现在中小学任何形式的考试中，所以，也几乎不会有中小学老师去给学生讲解这个问题。

因此，我想：绝大部分初中及以上学历的人看到这个题，第一反应无外乎以下几种：“本来不就是这样的吗？”、“这还需要解释吗？”、“这不是最基础的道理吗？还能再解释吗？”

（-1）×（-1）=1是最基础的数学运算规则，这可能是很多人认为无法再解释的主要原因。

实际上，这个问题在某乎上的回答已超过650个。在这些回答中，除了用大学知识进行的证明外，几乎没有一个回答是完全正确的（当然我下面的解释也不一定全对），而且很多错误的回答看起来都是对的，即使你认真地去思考，也不一定能发现。

（-1）×（-1）=1，客观上确实是数学里最基础的运算规则，简单点儿说它就是一个人为的规定，还真没法证明。

但是要注意：证明与解释，是两个概念，它们可能有联系，但一定有不同。

不能证明不代表不能解释，

不能证明不代表老师不需要给初学者解释。

学到高中甚至大学后，绝大部分人基本上都能很自然地理解（-1）×（-1）=1的深层涵义，但对刚开始学习这一块儿的学生来说，要想让学生更好地理解和应用，就必须要给出合理的、学生能理解的解释。

在数理化中，任何规则都有其意义，只要有意义，就能做出合理的解释，而对于初学者来说，只有真正地理解了意义，才可能真正地、高效地学好。

还有一点很重要：就是面对入门者，我们在讲解新知识时，是不能用专业的学术语言去讲解的，因为他们没有必要的知识储备，他们能听清楚你说的每一个词、但一定无法理解其中的含义；因此，在给初学者讲解新知识时，要用他们能听懂的、易理解的大白话去讲解专业的知识。

这也是我为什么说：初中物理简单，但高中物理更好讲。

因为初中生没有任何专业的物理基础，学习物理完全是从零开始，而初中物理中，有些物理理论与 学生在生活中见到的物理现象或生活体验， 看起来并不一致，这反而会增加他们学习的难度；

而高中生，就算初中物理学得再差，只要在初中听过课而不是每堂都睡大觉或者完全不听讲、不看书，起码知道 力、压强、电流、欧姆定律等基本名词，退一万步讲，就算他们搞不清楚力的定义，但对力这个物理名词至少不会陌生；

同样，到了高中或者大学，学生很容易就能理解（-1）×（-1）=1的意义，但如果要用非专业的、能让小学高年级学生理解的语言解释清楚，不但很难，过程可能还比较无趣。

与从零到一相比，从一到二的难度根本不值一提。

很多小学生家长在辅导孩子时，往往会说“这么简单的问题都不会”之类的，从父母的角度来看，小学生的数学题确实非常简单，因为父母已经具备了一定的“专业”基础；但是从孩子的角度来看，那些题可能真的难如登天，因为在孩子的思维里，没有相关的基础，而老师又没有将相关规则向他们解释明白，孩子在不理解的情况下，觉得“难、不会做”，不是很正常吗？

更重要的是：孩子不会做的根本原因不在于客观题目的难易程度，更多地是因为孩子根本没有理解规则。

家长错误地把孩子不会做题归咎于“孩子笨”、“不努力”等，孩子觉得委屈倒是其次，最重要、也最严重的后果是孩子的自信受到了极大的打击，而且还是持续不断的打击，这种伤害对孩子的影响有多大，实在难以想象。

回到（-1）×（-1）=1的问题，下面的讲解 主要是针对没有负数概念的学生或者负数还没学太明白的同学，这样基础较好的同学也很容易明白。

首先，学习理科的学生，一定要有这样一种概念：

数理化中，任何符号和规则的建立（或发现的规律），都是为了用更简洁的方式解释我们生活的世界，并指导我们更高效地进行社会实践活动。

如果不嫌麻烦，你可以管你最好的朋友叫作“张三的二女儿的小儿子”或者“李四再婚的媳妇带来的小孩儿”，当然你也可以叫他的大名儿“王五”或者你给他起的外号“六狗子”，以上的名字都指向你那个好朋友，但“六狗子”的使用范围仅限于你或者你们共同的朋友圈，而其正式名字“王五”则在全国范围内通用，为了避免同名同姓之间的混淆，有时候还需要通过身份证编号等加以区分；

数学中的符号，本质上是和 带有身份证编号的名字 差不多，减号和负号虽然在数学上的表示方法一样，但是分别有不同的含义。

如上图所示，假设你站在“0”的位置，面朝右，向前（右）走三步就到了位置“3”；然后你继续向前（右）走两步，就到了3 2=5的位置，这就是加法；

如果你从“3”的位置（面朝右）向后（左）退了两步就到了3-2=1的位置，这就是减法；

如果你在“3”的位置先转身180度，再向前（左）走两步，同样也会到达“1”的位置，如果这个过程你还用减法也就是“3-2=1”来表示的话，那么也就是说“3-2=1”一个式子将对应上边两个过程，这就与数学的基本原则相冲突；

数学的基本原则是：同一场景中，同一个过程可能有多个数学表达方法，但同一个数学表达方法在该场景下只能对应一个过程；

那么如果我们规定：不管你面向左还是右，都用加法表示向前走、用减法表示向后走，用负号“-”表示面朝左，即原来朝向（向右）的反方向，这样在“3”的位置先转身180度，再向前（左）走两步，就可以用式子“3 （-2）”表示，从上边的图很明显可以看出来，3 （-2）=1，这样我们就可以用两个不同的式子分别表示从位置“3”走到位置“1”的两个过程，而且每个式子只对应一个过程；

最开始，你（面朝右）从“0”走到“3”的数学表达式其实是0 （ 3）=3，正号“ ”表示面朝右，与“-”的方向相反；

同样，如果你仍然面朝右站在位置“0”，先转身再向前（左）走两步，其数学过程应该用加法“0 （-2）”表示，根据加法交换律和“任何数加零值不变”的基本原则，可知0 （-2）=-2，也就是到达的位置应该标上“-2”，

同样，我们还有其它方法走到“-2”，比如在位置“0”先面向左，即负方向，先向前（左）走一步，再向前走一步，就得到了（-1） （-1）=-2；

如果先向左走三步，再向后（右）退一步，那么就会得到（-3）-（-1）=-2；

如果先向左走三步，然后转身再向前（右）走一步，那么就会得到（-3） 1=-2

前面我们用负号“-”表示方向向左（即反方向），如果用正号“ ”表示方向向右（即正方向），那么我们从上边的例子中就可以总结出来以下规律：

向右走用正数（正号可省略不写）表示，向右走一格表示为（ 1），走两格表示为（ 2），。。。。。。

向左走用负数（负号不可省略）表示，向左走一格表示为（-1），走两格表示为（-2），。。。。。。

向前（面朝的方向）走就用加法，

向后退就用减法；

每改变一次符号，就要转向一次，比如“3 （-2）”，“3”前面被省略了正号，说明你在3的位置时是面朝右的（正方向），“2”前面是负号，那么“3 （-2）”就表示“你面朝右站在位置’3’，先转身然后再向前走2步”；以此类推，“（-2） 3”就表示“你面朝左站在位置’-2’，先转身然后再向前走3步”；

从上边的分析中，我们也很容易发现“3-2”与“3 （-2）”虽然表示不同的意义，但最终结果是一致的，即减法可以转化成加法进行运算，也就是说进入初中以后（准确地说是学习负数的运算法则以后），原则上已经没有了减法（当然也可以理解成：所有的加法都可以转换成减法，这样就相当于没有了加法，只是这种说法不常见）。

以上，我们从非负数的加减运算扩展到了实数的加减运算；

接下来再看负数的乘法规则；

在某种程度上，可以把乘法理解成加法的简便运算，即

3×（-1）=（-1） （-1） （-1）=-3

乘法又满足交换率，所以

（-1）×3=-3

但是（-3）×（-1）就不能按照上边的方法来解释，因为没有“负三个-1相加”或者这么说不但会让学生根本无法理解，还更容易把学生弄晕。

在上边走路的例子中，我们用“正号表示正方向，负号表示负方向”来帮助我们理解乘法中正负号的意义；

同样，如果要让学生更好地理解负数的乘法，那么在讲解时，就需要先赋于乘法中的负号一个容易被理解的意义（只是为了方便理解，不一定是数学上的严谨的意义）。

还是以走路为例，

任何一个负数，比如-3，可以理解成你面朝右（正方向）站在“0”点时，先转身再向前走三步，即-3=0 （-3）；如果你将文字表述与数学表达式进行一一对应，你会发现负号刚好对应“（站在原地）转身（转向180度）”；

前面我们已经证明了-3可以写成（-1）×3，那么这里的（-1）就只是起到一个（站在原地）转向180度的作用，而（-1）也可以理解成负号单独被拿出来时的写法（单独的一个负号没有任何意义，注意与实数-1的区别）；

根据前面的分析，很容易理解理解（-1）=(-1)×1，等式右边的-1只表示一次转向；

那么

（-1）×（-1）=[(-1)×1]×[(-1)×1]

（等号左面的两个负一表示两个实数，等号后面的两个负一表示单独出现的负号，分别代表一次转向）

等式后面出现了两个负号，也就表示你要站在原地（面朝正方向）连续转身180度，结果与转向前没有区别，即

（-1）×（-1）=[(-1)×1]×[(-1)×1]=1×1=1

同理，对于任意两个负数相乘，可以通过下边的形式理解其结果

（-2）×（-3）=[(-1)×2]×[(-1)×3]=2×3=6

推广开来，就能得到学生非常熟悉的规则：

n个负数相乘，当n为偶数时，结果为正；当n为奇数时，结果为负。

在物理学中，负号“—”只表示某个物理量的方向，与大小无关，但在纯数学中，任意两个数都是可以比较大小的，因此在数学里，也赋予了负数可以比较大小的功能，比较规则可以从上面的图（即数轴）上观察出来；

当学生学习到向量外积和右手定则后，会对负数的乘法法则有更进一步的认识，但这种更科学、严谨的解释方法明显不适用于小学生。

以上的分析解释，大概用了2000字，我觉得应该可以让初学者对负数及其运算原则有一个较深刻的认识与理解，但过程中并没有特别能吸引学生的地方，讲解花费的时间也肯定比“直接让学生背规则、记结论”要多很多，所以，我觉得不会有太多的老师会这么细心地给学生讲解，它们更喜欢让学生“先记住，用得多了就自然理解了”。

“读书百遍，其义自现”、“熟能生巧”等，是很多人都知道也都认可的学习方法，但是这种方法在文科的学习中可能是非常实用的，但在学习理科的过程中，如果在不理解基本原理的情况下强行“读书百遍”、“生搬硬套”，那么只能产生非常强大的负作用。

文科比较注重积累，对记忆力的要求比较高；“熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟”，就是这个道理；

而理科，更侧重于理解，概念定义、公式定理等背得滚瓜烂熟却仍然不及格的学生不在少数，根本原因就在于他们不会用，虽然他们记住了相关的理论知识，但因为不理解，所以基本上不可能用好。考场上套没套对，全凭运气，是对是错心里没有一点儿谱儿，从初中开始，年级越高，这种现象越严重。

很多老师给成绩不好的学生的建议就是：多背题型、套路、技巧等，然后多做题，很多家长也这么认为成绩不好就要多做题。

当学生做题的正确率低于某一程度时，做题越多，其负作用将急剧增大，甚至会让学生放弃某一科。

万丈高楼平地起。

当家长看到其它孩子已经盖起了二层楼、而自家孩子才刚刚盖了一间茅草屋时，家长和老师就会催促孩子你赶紧用水泥啊、赶紧加砖呀、你赶快往上盖呀；

实际上这往往是错的。

决定一块地上能不能盖高楼的，不是你有多少水泥、有多少砖，而是你的地基打得够不够坚实。

如果你打好了一块能支撑万米高楼的地基，哪怕你最初只是在上面支了个帐篷，只要你想，随时可以拆了帐篷建造世界第一高楼。

如果你喜欢一棵大树的繁茂，为了让它更茂盛，不是将其它树上的枝叶剪下来绑到这个树上，你绑得越多，对这个树的危害越大，当你绑上的枝叶越来越多时，大树能接受到的阳光会越来越少，透气性越来越差，接着就会腐烂，最后会引发火灾，直至催毁整棵大树。

正确的做法是强根固本，及时对根部松土、除草，适时浇水、施肥，你要的繁茂将不期而至，往往还会超出你的预期。

想要学好理科，就一定要努力理解好最基础的知识。

当然我不是说要让学生去花费大量时间去思考“如何向六年级学生解释（-1）×（-1）=1”这样的问题，但是在闲暇或课间，稍微思考一下，其收益很可能会超过 去思考一道远超过自己实际水平的难题 。

这种思考，稍有所得，则必然会终身受益，而且这就像滚雪球一样， 坚持的时间越 长，收益越大。

由于这些问题不与考试直接挂钩，因此思考可以在很长时间里间断性进行，学生一旦养成喜欢思考的习惯，很可能终身受益；如果学生有幸得到某个好老师的指点或引导，那么思考效率可能会直线提升，对学习的兴趣也会水涨船高。

现实中比较可悲的是：很多学生和家长觉得这种思考是浪费时间、没用，发现孩子有这种苗头时就像消防员发现火灾一样迅速扑灭，最终以“爱”、“为了你好”的名义，将孩子的求知本能连根拔起、把孩子心中燃起的学习热情打入寒冷的冰窖，然后又反过来抱怨孩子笨、不努力。。。。。在这种环境下成长的孩子，或许比窦娥还冤上千万倍。

最后，我只能希望越来越多的孩子能被正确地教育，让他们与生俱来的巨大潜能能够真正地被开发出来。

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