数学论文解方程题目（数学科普小论文）

数学科普小论文：

谈谈对方程解的有关认识（彭彤彬）

在学习了代数式及其运算后，它的直接应用就是考虑什么时候两个代数式的值相等？从而引出解方程。

解方程在生活、生产、科学及实验中有大量应用题，此处不多说。

此处只围绕人类对方程及其解法的认识历程作以简略介绍。

一、一元一次方程及解法

人们在有了整数的加减乘除运算后，就在实际问题中遇到了各种一次方程，并很容易地解出了答案。

如市场有两件物品，甲物品比乙物品贵3元，且五件甲物品与两件乙物品总价值一样，问甲、乙两件物品各多少钱？

解：设甲物品价x元，则乙物品价x 3元，由已知有：

5x=2（x 3）解得x=2

∴甲物品价2元，乙物品价5元。

一般地，一元一次方程可整理成标准形式：ax b=0（a≠0）

可解得x=-b/a。

可见一元一次方程，有且只有一个解（或根）。

二、一元二次方程及其解法

在学习了数的乘方、开方运算后，人们就有了多项式、分式、根式等概念。有了这些知识后，我们就可解稍复杂点的一元二次方程了。

一元二次方程的标准形式为：ax^2 bx c=0（a≠0）

系数a、b、c开始为整数或有理数，后为实数，再后可为复数。

在无理数没出现前，人们只能解少数特殊的有有理根的一元二次方程。

后出现了无理数后，人们可解实系数一元二次方程在判别式大于等于0的条件下的两个实数根（或相等或不等）。

一般结论为：

若ax^2 bx c=0（a≠0，a、b、c∈R），△=b^2-4ac，则：

当△=0时，方程有两相等实根x=-b/（2a）。

当△>0时，方程有两个不等的实根

x=（-b±sqr（△））/（2a）。

当△<0时，只能说无实数根。

这个公式的推导方法是配方法，下举特例示范之。

如解x^2 6x 8=0时

可配方得（x 3）^2=1，

开方得x 3=±1，

∴x=-3±1=-2或-4。

一般形式的公式推导，可仿此进行。

由于在实数范围内，负数不能开平方，就留下一个缺憾，当判别式△<0时无解。

这个问题一直等到数扩充至复数后才得到解决。可以得到实系数一元二次方程在复数范围内均有两解，或为两实数（或等或不等），或为两虚数，且它们互为共扼复数。

如x^2 2x 2=0，

配方得：（x 1）^2=-1，

∴x 1=±i

x=-1±i。

至此，实系数一元二次方程求根就彻底解决了。

更一般地，在复数范围内，人们很容易地证明了复系数一元二次方程有两个或等或不等的复数根，求根公式类似实系数一元二次方程的求根公式。

至此，才完美地解决了一元二次方程的求根问题。

三、一元三次方程及其解

在人们解决一元二次方程的同时，人们考虑了一元三次方程。对少数特殊的一元三次方程好解，但大多是不易求出准确解的，对一般形式的一元三次方程，人们为了找出求解公式，却遇到了难题。

经过长时间的探索，数学家们终于找到了方法，下面以实例说明之，一般求根公式推导可仿此进行。

如x^3 3x^2-5x 1=0，

先利用和的立方公式，将方程变为：

（x 1）^3 2（x 1）-2=0

换元s=x 1，得到一个不含二次项的一元三次方程：

s^3 2s-2=0

然后作一个重要的不易想到的换元：s=t a/t，则：

t^3 （3a 2）（t a/t） a^3/t^3-2=0

令3a 2=0，得a=-2/3，

∴t^3-8/（27t^3）-2=0，

27t^6-54t^3-8=0，

可见可求出t值，代入x=t a/t-1=t-2/（3t）-1中可求出x值。

但计算过程是非常麻烦的。

一般地有：

可先将一般形式的一元三次方程ax^3 bx^2 cx d=0，两边都除以a将x^3项系数变为1，再利用立方和公式消去x^2项，得到x^3 px q=0形式的方程，然后用变换x=t m/t，选取适当的m值，使方程变成只含t^6项、t^3项和常数项的可解整式方程，解之即可。

解出结果如下：

可以看出，用这样方法或用这样的求根公式来求根，计算太繁琐，但它是从理论上彻底解决问题的正确方式。

对于特殊一元三次方程我们可用特殊方法解之。

如前例中，事实上，通过观察知x^3 3x^2-5x 1=0的系数和为0，可知它有一根1，然后将方程左式除以x-1，得到商为一个一元二次式，这个商等于0时为一个一元二次方程，解之可得方程另两解。

人们在得知一元三次方程有三个根后，可以很容易得到很简捷的根与系数的关系如下，可在解决有关问题时加以运用。

设ax^3 bx^2 cx d=0三个根为m，n，k，则有

m n k=-b/a

mn nk km=c/a

mnk=-d/a。

四、一元四次方程及其解

也是利用巧妙的变换变形，化成一元三次及一元二次方程来解。

方法见下：

x^4项系数变为1后，再进行如下变形计算：

如x^4 2x^3 2x^2 6x-3=0，

先用配方法消去x^3项，可得：

（x^2 x）^2=-x^2-6x 3

在左式括号内加上y得：

则

（x^2 x y）^2

=-x^2-6x 3 2y（x^2 x） y^2=

（2y-1）x^2 （2y-6）x y^2 3

为使右边的关于x的二次三项式为完全平方式，只须

△=（2y-6）^2-4（2y-1）（y^2 3）=0，

可求出一解y=1，

∴（x^2 x 1）^2=（x-2）^2

开方得：x^2 x 1=±（x-2）

就化为一元二次方程，求出根即可。

人们用此法推导出了一元四次方程的求根公式，过于复杂，就不在此写出。

五、一元五次方程求解公式的探索

人们在寻求中得到了一元一次至一元四次方程的解法并推导出求根公式后，便想循着老方法去寻找一元五次甚至更高次方程的解法与求根公式。

想找各种技巧来进行变换和变形，去将一元五次方程化成较低次方程去解。但众多数学家努力了很长时间，均没找到。

这样，就有的数学家开始怀疑一元五次方程可能没有一般的求根公式，但无法给出证明。

在这样的环境下，伽罗瓦（1811年10月25日－1832年5月31日），一个年轻的法国数学家，创立了一门新的数学理论：群环域论。这是高等数学范围了。在里面证明了一元五次及更高次方程无求根公式。

这才终结了人们对一元五次及更高次方程的通用解法及求根公式的寻找。

但人们证明了复系数一元n次方程有n个复数根（含不等或相等根）。

你不觉得这是太不可思议的结论吗？

当然对各种具有一定特点的一元高次方程，人们还是研究了各种解法，去寻求出了它们的根。

六、实系数一元高次方程的实数根的个数判定方法及求法

虽说人们在寻求一元高次方程的求根公式失败了，但人们在微积分研究函数图像时，得出了实系数一元高次方程的实数根的个数判定方法及求法。

人们可用导数研究函数的单调性，极值及最值，取值趋势等性质。

进而得出了在实数范围内方程的实根存在性定理：

若y=f（x）在[a，b]区间上连续单调，且在端点上的函数值异号即f（a）f（b）<0，则f（x）=0在（a，b）内有唯一实数根。

如何求这个在（a，b）内的实根呢？

人们用二分逼近法。即每次取前一个区间中点值求出对应函数值，看它与左右哪个端点函数值的符合相反，根就应该在左或右的那半个区间内。

每进行一次这样的计算判定，根所在区间就缩小一半。

当然，若计算中某区间中点函数值等于0，那这个中点值就是所求的根。若总没有这样的中点值，就应该一直算下去，从而得到相应根满足一定精确度的近似值。

显然，这个方法不仅是对一元高次方程有用，而是对所有满足条件的方程都适用。

这个过程，在现今计算机的时代，借助各种数学软件，就可更容易得到实系数一元高次方程的实数根的个数及每个根的相应近似值了。

很显然，实系数一元高次方程中，奇次方程一定有一个实数根。

七、应该学习的问题：

实系数一元高次方程的虚数根怎么求？

一元n次方程有n个复数根，如何证明？有初等简捷证法吗？

为什么一元高次方程无求根公式？

八、还有什么方程方面的问题在理论上人类还没解决的？应该还有大量的各种猜想没解决，有待我们去探讨结论并加以证明。

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