导数的零点问题分析（对导数隐零点问题使用方法和注意事项的总结）

本期内容是对隐零点问题的题型和方法总结，隐零点问题连续更新了三期，足以看出这块内容的重要性，但隐零点本身难度很小，只是其中有些细节需要仔细推敲。

隐零点问题其实没有必要作为单独的题型，可以把该题型归结于函数求最值的大专题上，无论导数中的哪种题型都需要通过导数确定函数的增减趋势，通过极值点和最值点以及极限值具体确定出函数的形态，再求最值时按照方法的难易可分为三种方法，一是常规的一阶求导，导函数零点可求；二是二阶求导，判定一阶导数的增减性和最值，再判定函数的增减性，这里直接跳过了对导函数求零点的过程；三是隐零点法，通过二阶导数判定一阶导函数的增减性，设出导函数的零点，通过单调性求出函数对应的极值点。这三种方法互为补充，均为导数的基本功。

若单独分析隐零点法，难点其实有两点：

1.如何确定隐零点所在的区间，以及如何确认隐零点区间合不合适的问题。

关于这个问题，在上期已经给出解析了，隐零点范围合适与否需要根据化简之后极值的情况来确定，这次之前可通过整数点来初步判断，若函数中出现了lnx相关的对数函数，也可使用e，1/e等来判定。

若化简之后的极值是一个关于x0的函数h(x0)，此时函数一般较为简单，或通过一次导数直接看出单调性，若在初步判定x0的整数区间使得函数h(x0)的值域范围过大，即值域中存在整数，此时可判定x0的范围选择不当，需要重新确定。

至于重新确定x0范围的方法，通常有三种，即常规的二分法，放缩取点法，或根据函数值的边界反推出x0的范围，在接下来的题目中会有体现。

2.如何用隐零点处的导数值为零对极值化简的问题。

与第一个问题相比，这个问题就相对简单了，化简方法并没有统一的标准，若原函数中同时存在指数和对数，一般利用隐零点处的一阶导函数值为零消去其中一个，但有时候化简之后的式子依旧复杂，此时就可能需要通过指对数同构法来化简，典型的案例可以参考链接：考前训练7.一道导数隐零点问题【special】，对于指对数同构，可自行搜索。

隐零点作为求最值的一种方法，可用于常规的不等式证明或不等式成立求参的题目中，在不等式证明中，可含参数也可不含参数，若不含参数时直接求导确定隐零点，根据化简之后的最值形式和函数值的边界0反推出对应的隐零点的范围，若证明题中含参数，此时参数一般已经给出了范围，例如1<a<2，可以通过隐零点在一阶导函数处为零找出参数a和隐零点x0的等价关系，利用参数的范围反求出零点的范围。

在不等式求参中，根据参数的类型可分为求参数的整数最值和一般最值，整数最值即为最常见的类别，若求参数的一般最值，若采用分离参数法会导致所求参数范围过大，此时可采用整体处理法，根据函数的边界求出x0的具体范围，再根据参数a和隐零点x0的等价关系反求出参数的范围，下面给出四道与隐零点有关的典型习题分析。

本题为不等式求参，参数并非整数，因为导函数中存在参数，确定导函数存在零点时直接带数字不一定能确定出来，此时常用放缩取点法，这是导数零点存在问题的常规处理方法，对函数最小值化简之后根据函数的下界0可直接求出x0的范围，接下来在求参数范围中并没有利用参数和隐零点的等式关系来确定，用一阶导函数的单调性直接比较隐零点所在区间的左右边界对应函数的大小关系即可。当然本题也有其他解法，在此只展示隐零点的处理方法。

这个问题在上次推送中给出了，k为整数，分离参数求函数的最小值即可，先确定隐零点所在的整数范围，再根据化简之后的最小值式子的单调性确定出值域，因为值域中包含整数6，需要对隐零点所在范围重新界定，可以直接令化简之后的最值式子等于6反求出对应的x0的边界，验证即可，这种重新界定隐零点范围的方法是一种较为通用的方法，比二分法更为准确。

这个题目和上题类似，所求最值在大致求出的隐零点范围中范围过大，可令最值直接等于-1反求出对应的边界值，在方法上本题和上题差别不大，但难度相对有所提升。

本题属于无参函数证明题，若采用直接求最值的方法，化简之后的最值式子相对复杂，但最值式子中(x0-1)lnx0保号，剩下的二次式子在初步确定的隐零点区间内并不单调，可直接利用函数下界0反推出对应的x0，当然本题中展示的方法是利用放缩取点法确定出x0的上界，总体难度不大。

本题更加简单，利用给定最值的边界反求出x0的范围即可。

最后这道题目思路很清晰明了，利用参数a和隐零点的关系以及给定a的范围反推出x0的范围，出于计算简便起见，本题并没有转化为关于a的函数，题目难度中等，属于文科数学中的导数压轴题。

最后关于隐零点的问题希望同学们自己重复做一下三期中题目，自己品味一下其中的解法，隐零点问题常见常考且实用，希望都能熟练掌握。

参考链接：

指对数同构的再分析第一部分

指对数同构的再分析第二部分

思维训练34.指对数混合型函数中的构造法