中考数学练思维(中考数学思维方法3)

思维教学(三):比标准答案更好的解法

原创: 谈志国 生长数学

今天做了2018连云港中考卷,评讲第26题时,学生提出了比标准答案更多更好的方法,我也作了适时的总结归纳,同学们对函数与图形问题的解法有了进一步的认识,下面呈现主要评讲过程.


师:陆游曾对儿子说“汝果欲学诗,功夫在诗外”,知道是什么意思吗?

生:要想学写诗,功夫要放在诗的外面。

师:这是字面意思,想想看,诗外指的是什么呢?

生:应该是丰富的生活经验、独特的思考感悟之类.

师:我想改成“汝欲学解题”,下一句应该是什么?

生:功夫在题外.

师:题外有什么?

生:思考策略和思维方法……

师:若改成汝欲学数学,功夫在什么?

生:……

师:功夫在思维呀!好了,看题.

题目:如图1,图形ABCD是由两个二次函数y1=kx2 m(k<0)与y2=ax2 b(a>0)的部分图象围成的封闭图形.已知A(1,0)、B(0,1)、D(0,﹣3).

中考数学练思维(中考数学思维方法3)(1)

(1)直接写出这两个二次函数的表达式;

(2)判断图形ABCD是否存在内接正方形(正方形的四个顶点在图形ABCD上),并说明理由;

(3)如图2,连接BC,CD,AD,在坐标平面内,求使得△BDC与△ADE相似(其中点C与点E是对应顶点)的点E的坐标.

师:第(1)问报个答案略过.第(2)问的思路与方法是什么?

生:利用函数表达式设点坐标,再用点坐标表示线段长,然后根据正方形的边长关系建立方程求解,有解则存在,无解则不存在.

师:这个正方形的位置有什么特征?为什么?

生:各边与坐标轴平行。因为正方形与抛物线都是轴对称图形,所以可判断整体也关于y轴对称.

中考数学练思维(中考数学思维方法3)(2)

师:是啊,在坐标系中我们最喜欢的就是这样与坐标轴平行的线段,为什么呀?

生:因为这样的线段可以直接利用坐标来表示长度,也可以转化成坐标.

师:如何判断是否存在内接正方形?

生:设出点坐标,再表示出正方形边长,由正方形边长相等建立方程,若方程有符合题意的解,便存在,若无便不存在.

师:第(3)问是什么样的问题?已知什么?求什么?

生:已知一个确定的三角形,求另一个三角形与它相似,所求三角形已有两点确定,一个点的对应关系确定.

师:那就是已知三角形两点,求第三点,所求三角形能确定哪些数量?

生:一组对应边已知,所以相似比确定,可求另外两边长度,三个角大小也确定,但另外两边和两角对应关系不确定.

师:需要分类吗?如何分类?

生:当然需要,只有一点的对应关系确定,另外两点分别有两种对应关系,而且还要考虑到每种对应在已知边的两侧各有一点.

师:说说具体解法.

生1:先求最简单的一点,当DE1与DC对应时,由∠ADE1=∠BDC=∠ADO知E1点在y轴上,列比例式求DE1=2.5,可得E1点坐标为(0,-0.5).再把E1点沿AD翻折至另一侧得E2,易知∠E1AE2=90°,构造K形全等容易求出E2坐标,如图,E2(1.5,-1).

中考数学练思维(中考数学思维方法3)(3)

师:此法甚妙,在E1点的基础上求E2点坐标,借助一个直角构造K形全等达到改斜归正的效果,直接秒杀了E2点.这个解法比教辅书上提供的标准答案简单多了,你可以写一套更好的试题解析了.

师:还有两个点坐标怎么求?

生2:换个对应关系,当DE3与BC对应时,由∠DAE3=∠BDC=∠ADO知AE3与y轴平行,AE3=2.5,易得E3(1,-2.5),同样再把E3点沿AD翻折至另一侧得E4,易知∠E3DE4=90°,构造K形全等同理得E4(-0.5,-2).

中考数学练思维(中考数学思维方法3)(4)

师:若∠BOC不是45度这种解法还能行么?该怎么办呢?

生3:由对称关系得AD垂直平分E1E2,可以构造直角三角形和相似三角形,再求E2点坐标,如图,蓝色、黄色三角形都是直角边为1:3的三角形.

中考数学练思维(中考数学思维方法3)(5)

师:还有不同的想法吗?

生4:E2和E4点与AC构成平行四边形,求出E2后根据平行四边形的顶点坐标关系可求E4的坐标.

师:谁还记得平行四边形的四个顶点坐标有什么关系?写出关系式.

生5:相对顶点坐标之和相等,E2(1.5,-1),设E4为(m,n),则m 1.5=0 1,n-1=0-3,得E4(-0.5,-2).

中考数学练思维(中考数学思维方法3)(6)

(我看了看《江苏13大市中考数学试卷》答案解析,发现书中提供的第(3)问解法是最复杂的……,算了,这种解法不用再说了)

师:我们从整体看四个点的位置和四个三角形的特征,换个角度看,这是一个什么问题?

中考数学练思维(中考数学思维方法3)(7)

生:……

师:四个三角形的形状大小什么关系?

生:全等.

师:由于所求三角形的形状大小确定,且有两点确定,那么第三点的位置有几种情况?它和我们以前在全等三角形中做过哪种作图题实质是一样的?

生:有四种情况,相当于已知一个确定的三角形,以一条边为公共边作全等三角形,像下图,已知△ABC,作△ABC的全等三角形△ABD.只要画出一个三角形,其它三角形都可以通过翻折、旋转得到.

中考数学练思维(中考数学思维方法3)(8)

师:本题运用的方法策略有哪些?

生:【定变分析】,利用相似关系看所求三角形能确定哪些数量和位置;【改斜归正析】,向坐标轴作垂线构造直角三角形和相似三角形;【分类讨论】,按对应关系和位置范围进行分类;【移花接木】,借助前面已得结论或方法解决后面问题;【方程解析】,设出点坐标根据图形中线段关系建立方程求解……


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