中考数学练思维（中考数学思维方法3）

思维教学（三）：比标准答案更好的解法

原创： 谈志国 生长数学

今天做了2018连云港中考卷，评讲第26题时，学生提出了比标准答案更多更好的方法，我也作了适时的总结归纳，同学们对函数与图形问题的解法有了进一步的认识，下面呈现主要评讲过程.

---

师：陆游曾对儿子说“汝果欲学诗，功夫在诗外”，知道是什么意思吗？

生：要想学写诗，功夫要放在诗的外面。

师：这是字面意思，想想看，诗外指的是什么呢？

生：应该是丰富的生活经验、独特的思考感悟之类.

师：我想改成“汝欲学解题”，下一句应该是什么？

生：功夫在题外.

师：题外有什么？

生：思考策略和思维方法……

师：若改成汝欲学数学，功夫在什么？

生：……

师：功夫在思维呀！好了，看题.

题目：如图1，图形ABCD是由两个二次函数y₁=kx² m（k＜0）与y₂=ax² b（a＞0）的部分图象围成的封闭图形．已知A（1，0）、B（0，1）、D（0，﹣3）．

（1）直接写出这两个二次函数的表达式；

（2）判断图形ABCD是否存在内接正方形（正方形的四个顶点在图形ABCD上），并说明理由；

（3）如图2，连接BC，CD，AD，在坐标平面内，求使得△BDC与△ADE相似（其中点C与点E是对应顶点）的点E的坐标．

师：第（1）问报个答案略过.第（2）问的思路与方法是什么？

生：利用函数表达式设点坐标，再用点坐标表示线段长，然后根据正方形的边长关系建立方程求解，有解则存在，无解则不存在.

师：这个正方形的位置有什么特征？为什么？

生：各边与坐标轴平行。因为正方形与抛物线都是轴对称图形，所以可判断整体也关于y轴对称.

师：是啊，在坐标系中我们最喜欢的就是这样与坐标轴平行的线段，为什么呀？

生：因为这样的线段可以直接利用坐标来表示长度，也可以转化成坐标.

师：如何判断是否存在内接正方形？

生：设出点坐标，再表示出正方形边长，由正方形边长相等建立方程，若方程有符合题意的解，便存在，若无便不存在.

师：第（3）问是什么样的问题？已知什么？求什么？

生：已知一个确定的三角形，求另一个三角形与它相似，所求三角形已有两点确定，一个点的对应关系确定.

师：那就是已知三角形两点，求第三点，所求三角形能确定哪些数量？

生：一组对应边已知，所以相似比确定，可求另外两边长度，三个角大小也确定，但另外两边和两角对应关系不确定.

师：需要分类吗？如何分类？

生：当然需要，只有一点的对应关系确定，另外两点分别有两种对应关系，而且还要考虑到每种对应在已知边的两侧各有一点.

师：说说具体解法.

生1：先求最简单的一点，当DE₁与DC对应时，由∠ADE₁=∠BDC=∠ADO知E₁点在y轴上，列比例式求DE₁=2.5，可得E₁点坐标为（0，－0.5）.再把E₁点沿AD翻折至另一侧得E₂，易知∠E₁AE₂=90°，构造K形全等容易求出E₂坐标，如图，E₂（1.5，－1）.

师：此法甚妙，在E₁点的基础上求E₂点坐标，借助一个直角构造K形全等达到改斜归正的效果，直接秒杀了E₂点.这个解法比教辅书上提供的标准答案简单多了，你可以写一套更好的试题解析了.

师：还有两个点坐标怎么求？

生2：换个对应关系，当DE₃与BC对应时，由∠DAE₃=∠BDC=∠ADO知AE₃与y轴平行，AE₃=2.5，易得E₃（1，－2.5），同样再把E₃点沿AD翻折至另一侧得E₄，易知∠E₃DE₄=90°，构造K形全等同理得E₄（－0.5，－2）.

师：若∠BOC不是45度这种解法还能行么？该怎么办呢？

生3：由对称关系得AD垂直平分E₁E₂，可以构造直角三角形和相似三角形，再求E₂点坐标，如图，蓝色、黄色三角形都是直角边为1:3的三角形.

师：还有不同的想法吗？

生4：E₂和E₄点与AC构成平行四边形，求出E₂后根据平行四边形的顶点坐标关系可求E₄的坐标.

师：谁还记得平行四边形的四个顶点坐标有什么关系？写出关系式.

生5：相对顶点坐标之和相等，E₂（1.5，－1），设E₄为（m，n），则m 1.5=0 1，n-1=0-3，得E₄（-0.5，-2）.

（我看了看《江苏13大市中考数学试卷》答案解析，发现书中提供的第（3）问解法是最复杂的……，算了，这种解法不用再说了）

师：我们从整体看四个点的位置和四个三角形的特征，换个角度看，这是一个什么问题？

生：……

师：四个三角形的形状大小什么关系？

生：全等.

师：由于所求三角形的形状大小确定，且有两点确定，那么第三点的位置有几种情况？它和我们以前在全等三角形中做过哪种作图题实质是一样的？

生：有四种情况，相当于已知一个确定的三角形，以一条边为公共边作全等三角形，像下图，已知△ABC，作△ABC的全等三角形△ABD.只要画出一个三角形，其它三角形都可以通过翻折、旋转得到.

师：本题运用的方法策略有哪些？

生：【定变分析】，利用相似关系看所求三角形能确定哪些数量和位置；【改斜归正析】，向坐标轴作垂线构造直角三角形和相似三角形；【分类讨论】，按对应关系和位置范围进行分类；【移花接木】，借助前面已得结论或方法解决后面问题；【方程解析】，设出点坐标根据图形中线段关系建立方程求解……

---

题目虽有种种不同，知识方法可归为一，诸法归一，一以贯之，则能化难为易，化昧为明.中考数学提优教程《中考数学思维方法与解题策略》是本人从事思维教学研究的实践总结，正在微店热卖中，好评率100%，还有少量剩余，需要的朋友请进微店搜索书名购买，或加微信“tzg5236”联系.

,