如何证明多元函数在该点可导（高等数学之多元函数连续）

对二元函数z=f(x,y)，称它在点(x,y)可导是指它在点(x,y)处两个一阶偏导数都存在，则二元函数的连续，可导及可微的关系是，我来为大家科普一下关于如何证明多元函数在该点可导?下面希望有你要的答案，我们一起来看看吧!

如何证明多元函数在该点可导

对二元函数z=f(x,y)，称它在点(x,y)可导是指它在点(x,y)处两个一阶偏导数都存在，则二元函数的连续，可导及可微的关系是

多元函数的可导既不能推得连续，也不能推得可微。

题型一：讨论二元函数的可微性

讨论函数的可微性常用以下三种方法：

（1）利用可微的定义

（2）利用可微的必要条件：可微函数必可导，换言之，不可导的函数一定不可微；

（3）利用可微的充分条件：有连续的一阶偏导数的函数一定可微

以上三种办法中，方法一利用可微的定义判断可微性最常用，此时分以下两步进行：

考察f(x,y)在(x0,y0)处的偏导数是否都存在，如果f(x,y)在(x0,y0)处的偏导数中至少有一个不存在，则函数在（x0,y0)处不可微；如果都存在，则进行以下第二步；

考察如下极限是否成立？

若上述极限成立，则函数在（x0,y0)处可微，否则就不可微。

例1：

分析：利用定义证明。

证明：

总结：本例给出一个两个一阶偏导数都不连续但函数可微的例子。