三角形三边关系的动点问题（聚焦三角形三边关系的两个最值模型解题攻略）

几何是初中数学中非常重要的内容，尤其是近几年中考题更注重考察图形的变换，如平移、旋转、翻折等，一般会在压轴题中出现，而掌握常见几何模型将有助于学生理清思路、节省大量时间。

在平时练习过程中，注意提炼基本图形，用基本几何模型解决问题，则能提高学习效率，提升创新创造能力。本文以一道经典几何压轴题为背景，联系常见几何模型，提供相关解题策略，帮助孩子认识几何模型的魅力。下面结合例题说明三角形三边关系的两个最值模型精彩应用。

模型1

问题：在直线l上找一点P，使得的值最大

解析：连接AB，并延长与1交点即为点P.

证明：如图，根据△ABP

三边关系，BP-AP< AB，即PB - PA< PB – PA。

应用举例

例1、如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为____________.

解析：如图，取AB的中点E，连接OD、OE、DE，

∵∠MON=90°，AB=2 ， ∴OE=AE=1/2AB=1，

∵BC=1，四边形ABCD是矩形，∴ AD=BC=1， ∴DE=√2，

根据三角形的三边关系，OD<OE DE，

当OD过点E时最大，最大值为√2 1.故答案为：√2 1.

变式1．如图，∠MON＝90°，边长为2的等边三角形ABC的顶点A、B分别在边OM，ON上当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，等边三角形的形状保持不变，运动过程中，点C到点O的最大距离为　______　．

【解析】如图，取AB的中点D，连接OD、CD，

∵△ABC是等边三角形，∴CD＝√3/2×2＝√3，

∵∠MON＝90°，∴OD＝1/2AB＝1/2×2＝1，

由图可知，当点O、C、D三点共线时点C到点O的距离最大，

最大值为√3 1．故答案为：√3 1．

变式2．（2018•洪泽区一模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝2，点A、C分别在x轴、y轴上，当点A在x轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点的最大距离是　　．

【解答】解：如图，取CA的中点D，连接OD、BD，

则OD＝CD＝1/2AC＝1/2×4＝2，

由勾股定理得，BD＝2√2，

当O、D、B三点共线时点B到原点的距离最大，

所以，点B到原点的最大距离是2 2√2．

故答案为：2 2√2．

变式3.如图，正六边形ABCDEF的边长为2，两顶点A、B分别在x轴和y轴上运动，则顶点D到原点O的距离的最大值和最小值的乘积为　_______ 　．

【解析】根据已知得出D点的两个特殊位置，进而求出即可．

当O、D、AB中点共线时，OD有最大值和最小值，

如图，BD＝2√3，BK＝1，

∴由勾股定理得，DK＝√13，OK＝BK＝1，

∴OD的最大值为：1 √13，

同理，把图象沿AB边翻折180°得最小值为：1 √13﹣1×2＝√13﹣1，

∴顶点D到原点O的距离的最大值和最小值的乘积为：（√13 1）（√13﹣1）＝12．

故答案为：12．

变式4.如图，平面直角坐标系中，将含30°的三角尺的直角顶点C落在第二象限．其斜边两端点A、B分别落在x轴、y轴上，且AB＝12cm

（1）若OB＝6cm．

①求点C的坐标；

②若点A向右滑动的距离与点B向上滑动的距离相等，求滑动的距离；

（2）点C与点O的距离的最大值＝_______　 cm．

【解析】（1）①过点C作y轴的垂线，垂足为D，如图1：

在Rt△AOB中，AB＝12，OB＝6，则BC＝6，

∴∠BAO＝30°，∠ABO＝60°，

又∵∠CBA＝60°，

∴∠CBD＝60°，∠BCD＝30°，

∴BD＝3，CD＝3√3，

所以点C的坐标为（﹣3√3，9）；

②设点A向右滑动的距离为x，根据题意得点B向上滑动的距离也为x，如图2：

AO＝12×cos∠BAO＝12×cos30°＝6√3．

∴A'O＝6√3﹣x，B'O＝6 x，A'B'＝AB＝12

在△A'O B'中，由勾股定理得，

（6√3﹣x）2 （6 x）2＝122，

解得：x＝6（√3﹣1），

∴滑动的距离为6（√3﹣1）；

（2）设点C的坐标为（x，y），过C作CE⊥x轴，CD⊥y轴，垂足分别为E，D，如图3：

则OE＝﹣x，OD＝y，

∵∠ACE ∠BCE＝90°，∠DCB ∠BCE＝90°，

∴∠ACE＝∠DCB，

又∵∠AEC＝∠BDC＝90°，∴△ACE∽△BCD，

∴CE/CD=AC/BC，即CE/CD=6√3/6=√3，

∴y＝﹣√3x，

OC²＝x² y2＝x² （﹣√3x）²＝4x²，

∴取AB中点D，连接CD，OD，则CD与OD之和大于或等于CO，当且仅当C，D，O三点共线时取等号，此时CO＝CD OD＝6 6＝12，

故答案为：12．

第二问方法二：因角C与角O和为180度，所以角CAO与角CBO和为180度，故A，O，B，C四点共圆，且AB为圆的直径，故弦CO的最大值为12．

模型2

如图，在⊙O外有一点P，在圆上找一点Q，使得PQ最短

在⊙O上任取一点Q，连接QO和OP，在△OQP中，根据三角形三边关系，

OQ QP>OP ∵OP=0Q QP，且OQ=0Q , ∴0Q QP>0Q QP , ∴ QP>QP.

所以连接OP，与圆的交点即为所求点Q，此时PQ最短.

【另外三种情况】

点P在圆外，PQ最长 点P在圆内，PQ最长 点P在圆内，PQ最短

【总结】可见，点与圆的最值问题在本质上仍然是利用了三角形三边关系。

应用举例

例2．（2019•岐山县一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，E是AB边的中点，F是线段BC边上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D，则B′D的最小值是_____　．

【解析】如图所示点B′在以E为圆心EA为半径的圆上运动，当D、B′、E共线时时，此时B′D的值最小，

根据折叠的性质，△EBF≌△EB′F，∴EB′⊥B′F，∴EB′＝EB，

∵E是AB边的中点，AB＝4，∴AE＝EB′＝2，

例3、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以BC为直径的半圆交AB于D，P是弧CD上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是_______________.

解：如图1，取BC的中点E，连接AE，交半圆于P'，在半圆上取一点P，连接AP，EP，

在△AEP中，AP EP＞AE，即：AP'是AP的最小值，

∵AE＝√5，P'E＝1，∴AP'＝√5﹣1；

故答案为：√5﹣1；

变式1.如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），B（1﹣a，0），C（1 a，0）（a＞0），点P在以D（4，4）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC＝90°，则a的最大值是______．

【解析】∵A（1，0），B（1﹣a，0），C（1 a，0）（a＞0），

∴AB＝1﹣（1﹣a）＝a，CA＝a 1﹣1＝a，∴AB＝AC，

∵∠BPC＝90°，∴PA＝AB＝AC＝a，

如图延长AD交⊙D于P′，此时AP′最大，

∵A（1，0），D（4，4），∴AD＝5，

∴AP′＝5 1＝6，∴a的最大值为6．故答案为6．

变式2.如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切，点P、Q分别是边BC和半圆上的动点，连接PQ，则PQ长的最大值与最小值的和是______．

【解析】如图，设⊙O与AC相切于点E，连接OE，作OP₁⊥BC垂足为P₁交⊙O于Q₁，

此时垂线段OP₁最短，P₁Q₁最小值为OP₁﹣OQ₁，

∵AB＝10，AC＝8，BC＝6，

∴AB²＝AC² BC²，∴∠C＝90°，

∵∠OP₁B＝90°，∴OP₁∥AC

∵AO＝OB，∴P1C＝P1B，∴OP₁＝1/2AC＝4，

∴P₁Q₁最小值为OP₁﹣OQ₁＝1，

如图，当Q₂在AB边上时，P₂与B重合时，P₂Q₂经过圆心，经过圆心的弦最长，

P₂Q₂最大值＝5 3＝8，∴PQ长的最大值与最小值的和是9．

故答案为：9．

变式3、如图，边长为1的正方形ABCD中，以A为圆心，1为半径作弧BD，将一块直角三角板的直角顶点P放置在弧BD（不包括端点B、D）上滑动，一条直角边通过顶点A，另一条直角边与边BC相交于点Q，连接PC，则△CPQ周长的最小值为____________.

解析：△CPQ的周长＝PQ QC CP＝BQ QC CP＝BC PC＝1 PC；

又∵PC≥AC﹣PA＝√2﹣1，

∴△CPQ的周长≥1 √2﹣1＝√2，

即当点P运动至点P0时，△CPQ的周长最小值是√2．

变式4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，P是AB边上的动点（不与点B重合），将△BCP沿CP所在的直线翻折，得到△B′CP，连接B′A，则B′A长度的最小值是　　．

【解析】：在Rt△ABC中，由勾股定理可知：AC＝4，

由轴对称的性质可知：BC＝CB′＝3，

当A、B′、C三点在一条直线上时，B′A有最小值，

∴B′Amin＝AC﹣B′C＝4﹣3＝1．故答案为：1．

方法总结

我们如何知道是哪个三角形构建关系呢呢？我们利用三角形三边关系来解题，但这个构造出来的三角形是有条件的，即"这个三角形有两条边为定值，另外一边为需要我们求的那条边"。

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