奇函数常用题解题技巧（你不熟知的奇函数妙用）

已知函数f(x)＝(x－2x)sin(x－1)＋x＋1在[－1，3]上的最大值为M，最小值为m，则M＋N＝______

解析：

当题目出现一串很复杂的函数时，又告诉你最大值为一个符号，最小值也是一个符号时，这种题目其实是在考察奇函数

我们来思考一下，什么是奇函数呢？

①首先，这个函数定义域要关于原点对称

②其次，这个函数要满足f(－x)＝－f(x)

好的，我们再来思考一下，如果一个奇函数的最大值＋最小值，它会等于多少呢？

答案是：0

奇函数图象是不是要关于原点对称呢，当我f(－x)取到最大值时，是不是我f(x)就要取到最小值呢？

而我们奇函数满足f(－x)＝－f(x)，即f(－x)－f(x)＝0

∴奇函数的最大值－最小值＝0

当我们知道这个条件以后，我们来看看这道题目应该如何做呢？

题目告诉我们f(x)＝(x－2x)sin(x－1)＋x＋1，定义域为[－1，3]

我们刚刚说过奇函数定义域一定要关于原点对称，而这时题目给我们的定义域是[－1，3]，没有关于原点对称，我们应该怎么办呢？

我们来仔细看一下这个方程

f(x)＝(x－2x)sin(x－1)＋x＋1

这个方程中有个sin(x－1)，这个是sinx向右平移的一个函数，没有奇偶性，但我们可以把它变成一个有奇偶性的表达式，怎么变的呢？

我们来假设一下，令t＝x－1，t定义域∈[－2，2]，定义域是不是关于原点对称了呢

则是不是可以将sin(x－1)＝sint，而这时sint是不是变成了一个有奇偶性的表达式了呢？

所以这道题，首先我们要将f(x)转化成f(t＋1)

f(t＋1)＝[(t＋1)－2(t＋1)]sint＋t＋2

＝[(t＋1)(t－1)]sint＋t＋2

＝(t－1)sint＋t＋2

＝tsint－sint＋t＋2

而这时我们可以看到f(t＋1)＝tsint－sint＋t＋2＝奇函数－奇函数＋奇函数＋2＝奇函数＋2

这时当我最大值f(t＋1)＋最小值f(t＋1)会等于多少呢？

＝奇函数最大值＋2＋奇函数最小值＋2

＝奇函数最大值＋最小值＋4

我们刚刚已经证明过奇函数最大值＋最小值＝0

∴我们要求的M＋N＝4

这道题我们学会了，但是如果题目改一下，你是否会呢？

练习：