高等数学向量及其线性运算笔记（数学笔记-同济第七版高数）

1、y=f(x)，（x∈D）

（1）对于所有的x1,x2∈D, 且x1<x2, 有f(x1)<f(x2), 则f(x)在D上单调递增

（2）对于所有的x1,x2∈D, 且x1<x2, 有f(x1)>f(x2), 则f(x)在D上单调递减

2、增减性判别法：

定理：f(x)∈c[a,b], (a<x<b)

（1）若f'(x)>0, (a<x<b), 则f(x)在[a,b]区间内单调递增

（2）若f'(x)<0, (a<x<b), 则f(x)在[a,b]区间内单调递减

证明： 设f'(x)>0, (a<x<b) 对于任意的x1,x2∈[a,b]且x1<x2 f(x2)-f(x1)=f'(ξ)(x2-x1) (a<ξ<b) 因为f'(ξ)>0, x2-x1>0 所以f(x2)-f(x1)>0 所以f(x2)>f(x1) 得证！

1、y=f(x) (x∈D)

（1）对于任意x1,x2∈D,且x1≠x2, 有f((x1 x2)/2)<[f(x1) f(x2)]/2,称f(x)在D内为凹函数

（2）对于任意x1,x2∈D,且x1≠x2, 有f((x1 x2)/2)>[f(x1) f(x2)]/2,称f(x)在D内为凸函数

2、凹凸性判别法

引理：设f(x)二阶可导，且f''(x)>0, x0∈D

则f(x)>=f(x0) f'(x0)(x-x0) 且"="成立 <=> "x=x0"

证明： 由泰勒公式： f(x)=f(x0) f'(x0)(x-x0) [f''(ξ)/2!]*(x-x0)^2, (ξ介于x0与x之间) 因为f''(x)>0 所以R(x)=[f''(ξ)/2!]*(x-x0)^2>=0且R(x)=0 <=> x=x0 所以f(x)>=f(x0) f'(x0)(x-x0) 所以"="成立 <=> x=x0

定理：f(x)∈c[a,b], 且在(a,b)内二阶可导

（1）若f''(x)>0, (a<x<b),则y=f(x)图像在[a,b]上为凹

（2）若f''(x)<0, (a<x<b),则y=f(x)图像在[a,b]上为凸

证明： 设f''(x)>0 (a<x<b) 对于任意x1,x2∈(a,b), 且x1≠x2, x0=(x1 x2)/2 因为f''(x)>0 所以x≠x0时 f(x)>f(x0) f'(x0)(x-x0) 取x=x1,x=x=2有 f(x1)>f(x0) f'(x0)(x-x0),（1） f(x2)>f(x0) f'(x0)(x-x0),（2） =>[f(x1) f(x2)]/2>f(x) f'(x0)(x-x0) 因为x0=(x1 x2)/2 所以[f(x1) f(x2)]/2>f((x1 x2)/2) 所以y=f(x)在[a,b]内图像为凹