一个圆的内接三角形面积都相等吗（圆内接三角形中正三角形的面积最大）

对于这道题的严格证明最常见的是利用三角函数不等式证明。下面尝试利用初中圆的知识点进行证明。

我们先证明如下结论：在圆内所有内接三角形中，只要任意两边不等，则此三角形面积就不是其中最大的。如下图1，O为半径为r的圆之圆心，△BCD为圆内接三角形，且边BD与CD不相等，我们证明存在比△BCD面积大的圆内接三角形。过圆心O作BC的垂线，交BC于N，交D所在弧线（BDC）于A。过D作BC的垂线交BC于M，过圆心O作DM的垂线，垂足为H。

图1

则四边形ONMH为矩形，△ODH为直角三角形，故：

AN=AO ON=r HM=OD HM＞DH HM=DM

所以 S△ABC=BC*AN/2 ＞BC*DM/2=S△DBC。故得如下结论：在圆内所有内接三角形中，只要任意两边不等，则此三角形面积就不是其中最大的。那么我们是否就可以根据这个结论直接说“圆内接三角形中正三角形的面积最大”呢？ 这个逻辑有没问题呢？

如果有问题，我们按下面路线再去尝试证明：对于圆的任意非等腰内接三角形，总有一个等腰三角形的面积比它大（上面已证）；那么，我们只要证明任何一个内接等腰三角形的面积总小于等边三角形即可。

图2

如图△ABC为等边，△AMN为等腰，我们尝试证明S△ABC ＞S△AMN。连接MC，我们能否证明 S△ABC ＞ S△AMC ，且 S△AMC ＞S△AMN ？（这个结论正确吗？） 这样就能证明任何一个内接等腰三角形的面积总小于等边三角形，当然我们还要考虑弦MN>BC时的情形。

附三角函数简单证明：

S△ABC =absinC/2=(2rsinA)(2rsinB)sinC/2=2r*r sinAsinBsinC

转化成求sinAsinBsinC的最大值。

sinAsinBsinC ≦ ((sin AsinB sinC)/3)^3 ≦(sin(（A B C）/3))^3

当A=B=C 时等号成立。