分类讨论和数形结合思想是什么（分类讨论思想等腰三角形中的分类讨论）

每个数学结论都有其成立的条件，每一种数学方法的使用也往往有其适用范围，在我们所遇到的数学问题中，有些问题的结论不是唯一确定的，有些问题的结论在解题中不能以统一的形式进行研究，还有些问题的已知量是用字母表示数的形式给出的，这样字母的取值不同也会影响问题的解决，由上述几类问题可知，就其解题方法及转化手段而言都是一致的，即把所有研究的问题根据题目的特点和要求，分成若干类，转化成若干个小问题来解决，这种按不同情况分类，然后再逐一研究解决的数学思想，称之为分类讨论思想。

(1)要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；

(2)确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、 再对各个分类逐步进行讨论，分层进行，获取阶段性结果；

(3)进行归纳小结，综合得出结论.

类型1　顶角和底角的分类讨论

方法归纳：对于等腰三角形，只要已知它的一个内角的度数，就能算出其他两个内角的度数，如果题中没有确定这个内角是顶角还是底角，就要分两种情况来讨论．①当这个已知角为顶角时，②当这个已知角为底角时。

针对训练

1．等腰三角形是有一个角为52°，它的一条腰上的高与底边的夹角为多少度？

解：①若已知的这个角为顶角，则底角的度数为(180°－52°)÷2＝64°，故一腰上的高与底边的夹角为26°；

②若已知的这个角为底角，则一腰上的高与底边的夹角为38°故所求的一腰上的高与底边的夹角为26°或38°.

类型2　对腰长和底长的分类讨论

方法归纳：在解答已知等腰三角形边长的问题时，当题目条件中没有明确说明哪条边是“腰”，哪条边是“底”时，往往要进行分类讨论．判定的依据是：三角形的任意两边之和大于第三边；两边之差小于第三边．

针对训练

2．若一个等腰三角形的三边长均满足(x－2)(x－4)＝0，求此等腰三角形的周长．

解：.据题意，得x＝2、x＝4都满足(x－2)(x－4)＝0.从而可知等腰三角形的三边长有四种可能情况：2、2、4或2、4、4或2、2、2或4、4、4.其中，根据三角形的三边关系知，以2、2、4为边不能构成三角形，而其他三种情况均符合条件．因此，所求等腰三角形的周长为6或10或12.

类型3　对锐角、直角和钝角三角形的分类讨论

方法归纳：根据等腰三角形顶角的大小可以将其分为锐角、直角和钝角三角形．不同的三角形其高、中线、垂直平分线的交点位置均不同，比如锐角三角形腰上的高在这个三角形的内部；直角三角形腰上的高在顶角的顶点上；钝角三角形腰上的高在这个三角形的外部，因此在解答时需要分类讨论．

针对训练

3．AC为等腰△ABD的腰BD上的高，且∠CAB＝60°.求这个三角形各内角的度数．

解：.①如图1，高AC在△ABD的内部，因为∠CAB＝60°，∠ACB＝90°，所以∠B＝30°.因为BA＝BD，所以∠BAD＝∠D＝75°；

②如图2，高AC在△ABD的外部，因为∠CAB＝60°，∠ACB＝90°，所以∠ABC＝30°，所以∠ABD＝150°.因为BA＝BD，所以∠BAD＝∠D＝15°；

③如图3，高AC在△ABD的外部，因为∠CAB＝60°，∠ACB＝90°，所以∠B＝30°.因为DA＝DB，所以∠BAD＝∠B＝30°，所以∠ADB＝120°.www.21-cn-jy.com

类型4 函数中等腰三角形存在性

方法归纳：三角形两个顶点固定，另外一个顶点为动点，简称“两定一动”。此时任何两条边都可能作为腰，因此分三种情况讨论,如在△ABC中，①当点A作为顶点则AB=AC;②当点B作为顶点则BA=BC;③当点C作为顶点则CA=CB.