正方体的四条体对角线(正方体的体对角线垂直于异面的面对角线)
昵称为“灵羽无双”的读者朋友问到下面的问题.
左老师,你好.下面这道题答案虽然可以用特殊位置法很快的猜出答案,可我无论用向量法(易得到表达式但难求取值范围)还是传统几何法都感觉不好解释为何答案是三分之根号六到一.你有好方法能解释下吗?谢谢.
灵羽无双,
你的意思大约是,不想用特殊值法,希望看到完整的推导过程.
如果没有空间想象能力,建立空间直角坐标系是“无脑解法”.
如果具备一点空间想象能力,本题用几何法解起来更快.
1
正方体的体对角线垂直于与它异面的面对角线
如上图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,AC1为体对角线,A1B、BD、A1D为面对角线.
容易证明:正方体的体对角线和与它异面的面对角线是垂直的.(有兴趣的读者朋友可推导具体证明过程,并不复杂)
显然,本题中的体对角线AC1和三条面对角线A1B、BD、A1D都是异面的.
所以,直线AC1垂直于A1B,直线AC1垂直于BD,直线AC1垂直于A1D,故AC1垂直于平面A1BD.
2
将垂线平移到指定位置
通过(1),我们找到了平面A1BD的垂线.
但是,我们要求的是OP与该平面所成的角.
也就是说,该垂线并不在指定位置.我们需要对它进行平移.
平移的手段是——用中位线进行平移.
连接AC,则它与BD必相交于点O.
再取CC1的中点E,连接OE.
因为OE//AC1,所以OE也垂直于平面A1BD.
3
线面角转化
因为OE垂直于平面A1BD,所以OP与平面A1BD所成的角和OP与OE的夹角互余.
也就是说,所求的线面角α的正弦值等于∠POE的余弦值.
下面画出矩形ACC1A1.
故答案选B.
另外必须说一句,我的精力非常有限.
只有极小极小的一部分问题,我会在头条号公开回复.
因此你的问题极大可能得不到回复,给我提问的主要功能是你帮自己自我梳理,即你自己问自己问题,然后自己给出答案.
,
免责声明:本文仅代表文章作者的个人观点,与本站无关。其原创性、真实性以及文中陈述文字和内容未经本站证实,对本文以及其中全部或者部分内容文字的真实性、完整性和原创性本站不作任何保证或承诺,请读者仅作参考,并自行核实相关内容。文章投诉邮箱:anhduc.ph@yahoo.com