数与运算的整体性（数的运算与扩张）

关于数的运算的知识是人们在日常生活和生产实践的经验中抽象出来的，并且逐渐形成了“法则”。数的运算法则是重要的，如果让人类重新开始建立数学，那么，建立起来的新的数学会有多少与现在的数学是一样的呢？大概运算的法则是一样的，其他的就不好说了。在四则运算法则的抽象中，第二步抽象的结果在形式上是美妙的，但第一步抽象却更为重要，因为第一步抽象发现的是真的知识，而第二步抽象是合理地表达了新的知识。加法是“ 1”的复合，即从1 1出发，可以推导出所有自然数的加法。乘法在本质上是一类特殊的加法，是数自相加的缩写。减法是加法的逆运算，减法是通过加法来定义的。除法是乘法的逆运算，是通过乘法来定义的。第一个有意识地使用字母来表示抽象运算的是法国数学家韦达，人们可以像对“数”那样对“符号”进行运算，并且，通过符号运算得到的结果是具有一般性的。

加法法则的抽象过程分析

与数的符号表示一样，关于数的运算的知识也是人们在日常生活和生产实践的经验中抽象出来的，并且逐渐形成了“法则”。加法是所有运算的基础，我们先讨论加法法则是如何被抽象出来的。

一．抓住本质

我们已经谈到，数量的本质是多与少，而多与少的最简单形式是多一个或者少一个，正如《老子》中所说：“道生一，一生二，二生三，三生万物”，因此，加法的核心是加1。

从1 1出发，可以推导出所有的自然数的加法，比如2 2=4。据彭加勒的著作《科学与假设》一书记载，下面的证明是德国哲学家，数学家莱布尼茨给出的。

证明：从1出发，对于给出的自然数数a，规定a 1为a后面的序数，比如

1 1=2，2 1=3，3 1=4

因为a 2=(a 1) 1

所以2 2=(2 1) 1

=3 1

=4

但是，正如彭加勒所说，这不是真的证明，这不过是验证而已。莱布尼茨的工作还只是经验基础上的推理，如果要明确地表述加法，还需要进一步的抽象。

二．给出一般

经过几千年对于加法运算的使用，人们最终希望能够给出严格的表述，这就需要建立起在符号意义上的算律。18世纪最伟大的数学家欧拉做了许多基础性的工作，后来，意大利逻辑学家，数学家皮亚诺建立了自然数的序数理论。

现在我们定义加法运算。令N是由自然数的全体构成的集合，显然1∈N。回忆我们对自然数的定义：是那些能够由小到大进行排列的符号。因此，基于“ 1”的经验，对a,b∈N规定运算a b表示在a的后面增加b哥的序数，如果这个序数为c，则称c为a与b的和，求和的运算叫做加法，记为a b=c。可以验证加法运算满足下面三条:

1. 封闭性：如果a,b∈N，则a b∈N

2. 交换律：a b=b a

3. 结合律：(a b) c=a (b c)

第一条表示自然数集N对于加法运算是封闭的，后两条被称为算律，也是人们从长期使用加法的经验中抽象出来的。下面我们来验证结合律：按照定义，一个数 (b c)是在这个数的后面增加(b c)个的序数，也就是先增加b个再增加c个的序数，因此有

a (b c)=(a b) c

这说明结合律是成立的。

但也有许多学者对这种形式化了的运算表示不满。例如德国数学家亥姆霍兹在他的《算与量》中说道，只有经验才能告诉我们算术的加法法则可以用在哪里，比如：一个雨滴与另一个雨滴相加并不能得到两个雨滴；两份等体积的水混合，一份温度为40度，一份温度为50度，但是不可能得到温度为90度的水。法国大数学家勒贝格则更为调侃道，你把一头狮子和一只兔子关在一个笼子里，最后笼子里绝不会还有两只动物。