高中数学教师第一堂课讲什么（一位高中数学教师眼中的）

有些事诸葛亮也无能为力

常言道:“三个臭皮匠顶个诸葛亮”。"皮匠"应该是"裨将"的谐音，"裨将"在古代指"副将"，原意是指三个下层的、一线的行军打仗的裨将智慧有时加起来，比一个运筹帷幄、稳坐中军帐的诸葛亮可能来的正确、来的实在和有效，在流传的过程中，后人以讹传讹，将“裨将”讹成了"皮匠"这个同音字。这是对人多办法多,人多智慧高的一种赞誉。至于它是否真的正确，就是个人见仁见智的问题了。

人多力量大，智慧不大

但是,当你得知这一富有哲理的话语,可以用概率的理论,定量地加以证明时,你是否会感到意外呢？

01相关概念

要想真正的搞明白其中的数学原理，我们要先了解一个相关的概念——相互独立事件。

独立事件:如果一个事件的出现与另一个事件的出现无关（互相不影响）,我们就说这两个事件是互相独立的。

例如,某甲的思维与某乙的广告展板设计,只要没有预先商讨过,便是独立的;在数学上“三个臭皮匠”的智慧必须不能互相影响，影响了就不是相互独立的，借鉴、建议等等一定是不可以的，这与我们平时认为的商讨的结果胜过诸葛亮有本质上的不同。

02两个独立事件同是发生的概率

假定我们用AB表示事件A与事件B同时发生,那么,当事件A与B互相独立时,我们有：

P(AB)=P(A)﹒P(B)

实际上，上面的这个结论可以从下图中反应出来。

例、某商场推出两次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券。奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动。如果两次兑奖活动的中奖概率都为0.05，求两次抽奖中以下事件的概率：

①“都抽到某一指定号码”；

②“恰有一次抽到某一指定号码”

③“至少有一次抽到某一指定号码”

解：

①记“第一次抽奖抽到某一指定号码”为事件A，“第二次抽奖抽到某一指定号码”为事件B，则“两次抽奖都抽到某一指定号码”就是事件AB.

由于两次的抽奖的结果是互不影响的，因此A和B相互独立。于是由独立性可得，两次抽奖都抽到某一指定号码的概率为P(AB)=P(A)P(B)=0.05×0.05=0.0025

②“恰有一次抽到某一指定号码”可以用

表示。由于这两个事件是互斥（就是正好是相反的，二者的概率之和是1，当然也是独立的），根据概率加法公式和相互独立事件的定义，所求的概率为：

对于三个以上的两两独立事(件,类似地我们有公式:P(AB…C)=P(A)·P(B)……P(C)。

03三个“臭皮匠”解决问题的概率

现在回到三个“臭皮匠”的间题。假定“臭皮匠”A独立解决问题的把握为P(A);“臭皮匠”B独立解决问题的把握为P(B);“臭皮匠”C独立解决问题的把握为P(C)。

让我们从最简单的情况开始。

如若“臭皮匠”只有两个,那么某一问题能被两者之一解决的可能性有多大呢?

让我们仍然从图形的分析入手开始。这次我们借助集合的文氏图（如下图），我们用阴影区域的面积，表示相应事件的概率。那么，从图中我们立刻得到：

P(A或B)=P(A) P(B)-P(AB)，注意到“臭皮匠”们对问题的思考是各自独立的。这样，我们又有：P(A或B)=P(A) P(B)-P(A)﹒(B),重复使用上面的公式,能够得到一个问题被三个”臭皮匠”之一解决的可能性大小的计算公式:

如下图所示,实际上与集合元素个数的求解相类似.我们还可以推广到更多的独立事件.

现在假设:P(A)=0.45,P(B)=0.55,P(C)=0.60,即三人的解决问题把握都大致只有一半，但当他们总体解决问题时，能被三人之一解出的可能性为：

P (A或B或C)=0.45 0.55 0.60-0.45×0.55-0.55×0.60-0.60×0.45 0.45×0.55×0.60=0.901

看！三个并不聪明的“臭皮匠”居然能够解出百分之九十以上的问题，聪明的“诸葛亮”也不过如此！

上面我们是从“臭皮匠”们解题的把握性来分析的。其实,如果从他们不能解决问题的角度来分析,所得的结果将更简洁、更精辟。事实上,如果一事件出现的概率为P,那么该事件不出现的概率必定为(1-P)。这样,三个“臭皮匠”同时不能解决问题的概率为〔1-P(A)〕〔1-P(B)〕〔1-P(C)〕。把全部可能的1,减去同时不能解决的可能性,当然就得到三者至少有一人解决的可能性,即:P(A或B或C)=1-〔1-P(A)〕〔1-P(B)〕〔1-P(C)上式展开的结果跟前面的公式是一样的,但保留上面算式在计算上要简单得多。如上例

P(A或B或C)=1-(1-0.45)·(1-0.55)(1-0.60)=1-0.55×0,45×0.40=0.901。

又当“臭皮匠”人数增多时,前一种算法将不胜其繁,而后一种算法无须什么变动依然适用。例如，庄子在《杂篇﹒徐无鬼》中说：

吴王浮于江，登乎狙之山。众狙见之，恂然弃而走，逃于深蓁。有一狙焉，委蛇攫搔，见巧乎王。王射之，敏给博捷矢。王命相者趋射之，狙执死。

吴王射狙

意思是：吴王打猎，登上猴山。群猴一见，四散奔逃。只有一只猴子，上蹿下跳，左格右挡，在吴王面前卖弄机巧。 吴王数箭不中，大怒，命令随从一起放箭，猴子中箭身亡。

假设吴王的随从有10人，每人射中的概率是0.3吧，这样的命中率够低的了吧。他们一起放箭，且不受影响，那么根据上面的公式，目标被击中的概率为：P=1-(0.7)^10=0.97.

也就是说，目标几乎会被射中的。再者说作为吴王的随从，射箭击中的概率怎么也超过0.7吧，逞能的猴子必死无疑。

04“三个臭皮匠顶个诸葛亮”的传说

有一次，诸葛亮前去东吴找孙权的麻烦，问孙权能不能造报恩寺塔，这个塔设计的非常难，最难的部分就属最顶端的葫芦，足有5丈高，两千多斤重，然后这个孙权就被难住了，很长一段时间没做出来，这不，城门口就有三个皮匠听到了消息，这三个人就非常丑，被大家叫成“丑皮匠”，他们听说诸葛亮在寻东吴人的开心，心里不服气，便聚在一起商议。他们足足花了三天三夜的工夫，终于用剪鞋样的办法，剪出个葫芦的样子。然后，再用牛皮开料，硬是一锥子、一锥子地缝成一个大葫芦的模型。在浇铜水时，先将皮葫芦埋在砂里。这一着，果然一举成功。诸葛亮得到铜葫芦浇好的消息，立即向孙权告辞，从此再也不敢小看东吴了。“三个丑皮匠，胜过诸葛亮”的故事，就这样成了一句寓意深刻的谚浯。

现代牛皮筏

在小学语文课本里有一篇名为《三个臭皮匠顶个诸葛亮》的文章。文章中写到诸葛亮带兵过江，江水湍急，而且里面多是突出水面的礁石。普通竹筏和船只很难过去,打头阵的船只都被水冲走触礁沉没，诸葛亮一筹莫展，也想不出好办法，入夜来了3个做牛皮活的皮匠献策。告诉诸葛亮买牛，然后把牛从肚皮下整张剥下来，封好切口后让士兵往里吹气，做成牛皮筏子，这样的筏子不怕撞，诸葛亮按此方法尝试并顺利过江。

05“三个臭皮匠顶个诸葛亮”另类解读

从上面计算的条件可以看出，“三个臭皮匠顶个诸葛亮”的前提是互相不影响、相互独立，这样严格的条件基本上在生活中不太容易实现，往往是人多事情更糟。

05.1一百个傻瓜聚在一起只会更蠢

真理就是简单

俗话说“真理往往掌握在少数人手里”、“三个和尚没水吃”显然是否认群众智慧的。叔本华在《人生的智慧》中认为，就算100个傻瓜聚在一起，也产生不了1个聪明的人。他说，一个人具备了卓越的精神思想就会造成他不喜与人交往，伟大的灵魂注定都是孤独的。人的数量并不能取代质量，因为，人一到群体中，智商就严重降低，为了获得认同，个体愿意抛弃是非，用智商去换取那份让人备感安全的归属感。

所以，智者从来都是独自发光的！人作为个体才是有价值有意义的，说民众，那不过是消遣而已。

法国社会心理学家古斯塔夫·勒庞在《乌合之众》中也是这么说的，只要是群体，不管你是学高八斗，还是文盲，个体智商毫无用处，群体相加的不是智慧，只是平庸与愚蠢，任何个人加入到一个群体，其独立思考能力基本缺失。所以，三个臭皮匠不但顶不了诸葛亮，反而更蠢。蠢人不可怕，但蠢人多了，是会拼蠢的，还会形成蠢力。

可怕的是，蠢群极易被非理性的肤浅口号所蛊惑，人多力量大的另一面就是——乌合之众。他们的可悲之处在于：被利用之后还以为自己站在了历史的最高点，而根本不清楚自己只是漂浮在真相表面。

中国还有句话糙理不糙的真理“帮忙不如捣蛋的多”，自己的事最终负责任的只能是自己。“独立”是个多么宝贵而又稀缺的好动西啊！

话剧：乌合之众

05.2“三个臭皮匠顶个诸葛亮”是不是三个最好呢？有道理吗？

100年前，Francis Galton做了一个实验，“让当地人猜一头牛的重量：Galton收集了800个人的答案，没有任何一个答案是正确的。”

但是将这些答案用曲线图画出来后，Galton却发现，800个答案的平均数值跟牛的重量完全吻合：543公斤。

“群体智慧”理论称，收集的数据越多，最终的答案就越准确。但是Mirta Galesic却根据自己的实验结果提出完全相反的结论。

Mirta Galesic教授主要研究人类群体如何决策，她提出人越多反而越有可能做出错误决策，而且有时候随便在100个人中选1个人出来，都能做出比100个人更好的决策。

原因有两个，首先，群体智慧只适用于只有一个正确答案的定量问题中——比如，瓶子里有几个口香糖，或者这两个候选人谁能赢得选举？

陪审团的成员来自各阶层

而在陪审团之类的情况下就不适用了，因为你无法肯定有罪或无罪来推定是对是错，有些杀人犯甚至能够侥幸逃脱法律制裁。

群体智慧论也不适用于“英国脱欧”或者“同性婚姻合法化”等大众投票中。Galesic称，“这种问题更多取决于个人喜好。即便多数人选出了一个结果，也会有部分人不肯认同。”

一个经典的故事是：小区想粉刷外墙，投票选择颜色，最终选择的颜色是大家都不太满意的颜色？原因很简单，自己最喜欢的颜色不一定能被选中，就选个大家都相对能接受的吧！这样的结果在重大的决策中是一个“致命的错误”。这也说明了第二个原因。

第二，群体智慧不适用于太难的问题。Galesic在研究中发现，对于高难度的问题，与其让100个专家投票，不如只问其中一两个人。

Galesic使用统计建模和电脑模拟，对专家群体讨论定量问题的结果进行分析。

当问题比较简单的时候，比如病人得的是常见病，或者就业环境稳定，专家数量越多，最后的答案就越准确。但当问题变难时，事情的结果就难以预料了。

至于多少人合适呢？这要看具体的问题了。Galesic的举例是，要更准确地预测某次选举结果，应该咨询5名政治学者。要得到准确的疾病诊断，最好找11名医生。要得到经济变动的最佳预测，就需要7个经济学家，这也正好是美联储理事会的人数。

看来“三个臭皮匠”也并不是一定就比“诸葛亮”强，我们还是安心地从“臭皮匠”做起吧，只有努力提高自己，才能从一个“臭皮匠”成为真正的“诸葛亮”。

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