数学圆与三角函数最值问题（第二百六十二夜）

概率统计、圆锥曲线和导数是拉分的三驾马车。尤其是圆锥曲线和导数的地位从未撼动，压轴亘古不变。写来写去都是那点东西，再好的耐心也会被消磨殆尽。

现在，我就被无情地摧残着——三角函数与导数。原谅我的絮絮叨叨，命题者比我更加无聊——换药不换汤，换汤不换药。

命题是件费力不讨好的差事，简单了，被鄙视；太难，被嫌弃；如法炮制，没有新意；拓展创新，怀疑心机。没有比这更糟心的了，作为旁观者，我总是抱以同情和理解。

法1，分类讨论。分类讨论是解决含参问题最基本的方法，难点在于确定分类的标准。分类既可从原函数的结构出发，也可从导数的特点着手。本题二者结合，相得益彰。

需要强调的是，否定结论只需一个矛盾区间。而这个区间能否具体求出来，无关紧要，只要它的确存在即可。

对于本题，引起我兴趣的是这个5怎么来的。是天外飞仙，还是横空出世？是神来之笔，还是匠心独具？

不妨从导数的几何意义说起。我想，考虑曲线在原点处的切线，再好不过。

含参三角函数要比其它函数更具魔性。原因在于它有其它函数所不具备的性态——周期性与有界性。尤其是有界性，有着不可估量的作用——放缩变得肆无忌惮。

法2便是如此，先利用余弦函数的有界性放缩，瞬间拨开迷雾，希望洒满人间。继而是分离参数——难以抗拒的方法，由此去掉参数的干扰，不知所措变得从容不迫。然后是求新函数的上界，很抱歉，端点无定义，前功尽弃。就在怅然若失与心有不甘之间，灵光乍现，突如其来的“洛必达法则”成为救命的稻草。一番操作后，风平浪静，不禁有点自鸣得意。

放缩还可更嚣张点，比如下面这种。撕下张牙舞爪的面具，呈现一张眉清目秀的脸，潜藏着不可名状的风险。

是的，必要条件探路——先寻找必要条件，再证充分性。法3甚好，逻辑严谨，步骤完善，不失为解答题的操作。

总有人抱怨，现在的题目不如以前，越来越简单了。我不同意这样的说法。与其说题目变简单了，不如说研究的套路更深入。以三角函数为载体的导数，前几年还是追捧的热点，如今已沦为司空见惯的常态。只要有创新，就会有抄袭，就会有模仿，就会有见微知著、触类旁通。一切都不过是时间的问题。

让我们再重温昔日的美好，感受得意忘形的心跳：