991.1鸡血模式(0.999...1)

这个错误例子直接参见文尾

讨论这个问题前先对齐一下几个基本理解,如果对下面任何一项不认同,讨论就可以终止了:

  1. 0.999...,0.333...,1,1/3都是实数,都有确定的值
  2. 0.333...,表示小数位有无穷多个3构成的有理数,它不等于任何一个有限位数的0.333..3。很显然,它不等于0.3,不等于0.33,不等于0.333,以此类推。同时0.333...是序列{0.3, 0.33,0.333,...}的极限
  3. 如果A=B,B=C,那么A=C
现在进入正题

错误1:文中多处把0.333...写为0.333..3,这两种写法有巨大的差异,混淆了有限与无限。姑且认为只是笔误。

错误2:(严格说不算错误)文中的等比数列求和公式,是有限项数列求和的公式。0.333...是无穷多项等比数列求和,当公比q<1时,求和公式为:

0.333...=S∞=a1 /(1-q),a1=0.3,q=0.1,带入即可求得=1/3

当然,也可以求Sn,n->∞时的取值,即0.333...=Sn,n->∞=1/3,同样=1/3

有趣的是,原文中,自己都已经证明出了0.333...=1/3,结论却说不等于:

原文写到

0.333...x3 = 1- 0.1n次方,其中n趋于无穷大。

接下来又写到

“1- 0.1n次方,其中n趋于无穷大 ”这句话用极限表示计算结果=1

把这两句话和在一起,即可得出0.333...=1/3(见开头理解3)

错误3:混淆了函数与实数取值。文中列出的函数,f(n)= 1-0.1n次方,又画图解释了曲线0.333..3x3 与1的差,得出结论“无限接近但不等于1”

但是f(n)是什么?是n与1-0.1n次方的一组映射关系。f(1)=0.9,f(2)=0.99,这些都不等于0.333..x3,自然相减会有差,有什么好奇怪的?(见开头理解2)

那么0.333..x3=?它的值=f(n),n趋于无穷大,即n为任意确定整数时f(n)都不等于0.333...x3,只有当n->∞,才是0.333...x3的唯一确定值,而这个值通过极限计算,结果严格=1(见开头理解1),这个结果其实文中自己都已经计算出来了,不信看上面“接下来又写到”那里。

错误的原因在哪?

其实只要引入极限的概念,就必然得出0.999...=1,所以,所有反驳观点都会说极限证明是循环论证不能用,而文中自己却使用极限概念,还得出个自相矛盾的结果。

现代数学极限的概念都是使用e -∂语言,

991.1鸡血模式(0.999...1)(1)

同济大学版高等数学 上册

文中的核心其实是想表达无穷小≠0,翻开任何一本高等数学教材,都能看到,无穷小的几个重要性质

991.1鸡血模式(0.999...1)(2)

第一,无穷小不是一个很小的数,所以原文中1与函数曲线的差并不是无穷小,而只有在n->∞时才是无穷小,这个时候才是1与0.333...x3的差。而无穷小小于任意给定的正数,所以这个差通过极限计算严格=0。

第二,0是无穷小中的唯一常数

说到这就不用再讲别的了吧。引用知乎网友的一句话,一大部分人学习高数数分的最大障碍,认为无穷小是一个比0大比其他正实数小的实数

另外错误的关键就是没有真正理解有限与无限,离散与连续, 整数与实数的概念,只有理解了这些才能迈入高等数学的大门。特别是实数的稠密性,完备性,连续性

那么如何证明0.999...=1,或者0.3333...=1/3呢?

初等数学的证明就不用了,这里引用几个极其简单,但不是那么严谨的证明。

1.利用极限的唯一性

首先,0.333...是序列{0.3, 0.33,0.333,...}的极限,或者

0.999...是序列{0.9, 0.99,0.999,...}的极限

其次1是0.333...x3的极限,或者0.999...的极限(原文中自己认可的)

根据极限的唯一性,所以1=0.999...

991.1鸡血模式(0.999...1)(3)

同济大学版高等数学上册

2,假设1≠0.999...之间还有其他的数,那么1与0.999...的差必然是0.0000...01

但是因为减数有无限多位9,所以差里也必然有无限多个0,0.000...,无穷多个0,永远没有机会写最后的1,所以这个差只能是0

这里估计很多人看了会觉得别扭,反直觉,这是因为实数相等的判定和日常,7=7这样整数判定方式不同,因为实数是稠密的,完备的,连续的。

实数轴是没有空隙,任意两个确定的实数的关系要么是大于,小于,要么等于,没有其他。两个不相等的实数中间必然还有其他实数,而如果两个实数之间没有其它实数了,则他们必然相等。

3,根据实数相等的定义

991.1鸡血模式(0.999...1)(4)

两个实数相等的判定,不是“数轴上它们都是第102个点,所以相等”这样的方式,因为实数是稠密的,连续的,完备的,而是:

你可以想象它们的差是任意一个很小很小很小的正数,注意是任意的。然而不管这个差有多小,如果都还能再找到一个确定的位数N,它们在比较到这个第N位时达到了你给定的这个小差,然后,我都能告诉你,如果继续接着算到第N位以后,这两个实数的差比你任意给的那个小差还要小,如果这个小差不管取什么值都是这样的结果,那这两个实数就相等。

简单说就是,不管你觉得它们的差有多小(确定的有限),我都能告诉你实际比你想的还要小(因为是无限)。

所以,并不是“因为无限接近,它们就不等”,这样朴素的直观感觉,而是有严格逻辑的。而这正是数学无穷小危机已经解决了的问题。

其实无限接近并不是没达到,而是已经严格相等了(见上面的解释),否则如果达不到的话,阿基里斯就永远追不上乌龟了,而事实是在有限的时间内乌龟就被追上了,当然你还可以搬出普朗克,说空间是不连续的,然而实数想到的定义也解决了这个追乌龟问题。

991.1鸡血模式(0.999...1)(5)

引用网友的证明

4,利用戴德金分割证明

991.1鸡血模式(0.999...1)(6)

附录-被讨论的错误例子

991.1鸡血模式(0.999...1)(7)

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