确定性与不确定性的因素（世界的不确定性与确定性之间的关系）

当我们走在大路上时，总会有一幢幢高楼大厦，一条条纵横交错，绵延数公里的公路 ，以及周边的花草树木，甚至一些正在施工的建筑物及其旁边的汇聚成堆的一粒粒沙子和水泥、石灰粉等物体映入眼帘，它们都和空气中的一部分灰尘一样，都是肉眼可见的实物，都是宏观物体 。

根据物理学常识，一般认为空间尺度大于10^-10m数量级时，都可称为宏观尺度。 但该尺度范围内的一些物质，也小到连我们的眼睛都不能直接看到，如热学中描述的各种气体分子，又如空气中的一部分微小的尘埃。它们的特点是：该尺度范围内的任何宏观物体(包括单个分子)的运动遵从经典物理学或相对论力学定律。显然，该尺度也可以到超宏观——宇观尺度，它是主要由万有引力和电磁力起作用的各种天体和天体系统所在的尺度，如地球、太阳系、银河系、河外星系所处的大尺度，它们可用肉眼直接看到，或借助天文望远镜、遥感卫星、空间探测器等仪器或设备看到。

但在宏观小尺度里，通常认为空间尺度在1~100纳米之间时，又可称之为介观尺度。如各种超细微粒(纳米粒子)，其线度就在1~100nm之间；又如，化学常识里能产生丁达尔现象(即一束光通过胶体时，会出现一条光亮的“通路”)的一种介于浊液与溶液之间的分散系——胶体，如氢氧化铁胶体，其分散质的粒度也在1~100nm之间；再如，根据生物学常识，在一大类微生物家族——病毒家族里，也有一部分个体的尺寸也在该范围内，如大家有所耳闻的乙肝病毒的线度约42nm，甲型H1N1流感病毒的线度约为90nm，连一部分新型冠状病毒的线度也在该范围内 。总之，这类颗粒的结构既不同于原子、分子等微粒，也不同于常见的各种宏观物体，其性质介于宏观物体和微观粒子之间，既有明显的量子特性，又有宏观物体的经典特性乃至生命特性。

由此推出，当空间尺度数量级在10^-10m以内时，都可划为微观尺度。其数量级可以仍为10^-10m，也可以是10^-11m，还可以持续缩小。该尺度上限为物质原子或小分子所在的线度，即10^-10m的1~10倍，如氢分子的线度约为2.3埃(米)，氧原子的线度约为1.48。其特点是：处于该尺度内的任何物质，具有常见的“波粒二象性”“不能同时确定粒子的位置和动量”和被爱因斯坦称为鬼魅般的超距作用的“量子纠缠”等微观粒子的基本属性，其运动主要遵从量子力学定律。

当然，在社会科学、数学科学乃至思维科学领域，宏观也指大的方面或总体，而微观是指小的方面或个体。如经济学常识里的宏观经济学研究国家整体经济行为，微观经济学研究个体(家庭、企业和市场)经济行为。如数学科学里，宇观或宏观数学可分为物质数学和精神数学乃至很可能存在的研究最广大世界里除物质和精神以外的“外存在”的空间形式和数量关系的“外存在”数学 ，宏观或介观数学可分为确定性数学、随机性数学、模糊性数学和不可能性数学，而微观数学包括常见的算术(数论)、代数、几何、三角学、函数论、微积分、微分方程、概率论、数理统计、随机过程、图论、拓扑学、离散数学、量子数学、数理逻辑、运筹学等数学分支学科。

因此，通过数学常识，从宏观的角度来看，现实世界的不确定性事物包括随机性和模糊性事物，它们分别可用随机数学和模糊数学定量表达。又由于模糊数学在现实世界里不能对一些模糊概念或现象用逻辑代数里的一个确定的二进制数0或1进行定量描述，它建立在模糊集合、隶属函数等知识基础上，且隶属函数的一系列在0和1之间的函数值已能确定所考察元素(即函数值对应的自变量结果)对该模糊集的从属程度，即每个元素在各个模糊集里没有明确的界限，但能用多个纯小数分别准确地表示各自的元素对集合的从属程度，最终会实现经典数学里的完全确定。如模糊概念“高个子人群”就是一个模糊集 ，如果人为给定一个标准 ，把1.8米以上身高称为高个子 ，1.7米以下称为矮个子，那么，一米八以上身高的人，在这个高个子人群里的隶属度都是1，这与经典的确定性集合是相交的，但个头没有一米八时，如一米七以下时，在这个高个子人群里的隶属度都是0，即不属于这个高个子人群，而在一米七和一米八之间时 ，比如1.755米，其从属程度就在0和1之间，如其在高个子人群里从属度可以简单定义成 (1.755-1.7)/(1.8-1.7)=0.55，显然，个子越高，从属度越高。身高从属度为纯小数时，如该例中的1.755米，由于没有达到1.8米，所以其在矮个子人群里从属度也可以简单定义成 (1.8-1.755)/(1.8-1.7)=0.45=1-0.55，显然，个子越矮，从属度越高。所以依此标准，可以说这种身高的人不高不矮，偏高一点点，且这种身高在这两大模糊集中都确切存在，从而在元素整体上等效于经典集合中的隶属度只能为1的确定性元素。

而对于随机数学，它包括常见的概率论与数理统计、概率论与随机过程、随机运筹。其根基就是概率论，即研究随机现象的统计规律性 ，它反映了大量偶然事件在统计上的必然性结果，这些结果都是确定的 ，也随机试验的一切可能性结果是确定的，它们组成了其随机变量的定义域——样本空间。如随意掷一枚普通骰子时，它显然如同微观粒子一样，也是在作无规则运动，只不过掷到各点的大量偶然结果的统计性和稳定性频率——概率都是1/6，但所有点数都属于有上、下确界的有穷集合{1，2，3，4，5，6}，相对于该集合而言，掷一个骰子出现任何期望、合理点数的随机事件反而质变成了必然事件 。

又如，在客观世界里，根据物理学常识，对于任何一个微观粒子，我们不可能同时准确地知道它的位置和动量，如果用△x表示任何微粒位置的不确定量，用△p表示其在x方向上的动量的不确定量，那么这些不确定量满足关系式△x△p≥h/4π(h为普朗克常数)，这说明对于任何微粒，当其位置的不确定度越小(即粒子的空间位置越准确)时，其动量的不确定度就越大，即越测不准其动量。反之亦然。这种测现象还与测量技术、测量仪器和测量精度无关，其根源是微观粒子的内禀属性 。总之，我们无法描述其运动轨迹，只能用概率来描述其可能出现的那些空间区域。如对于原子核外电子的运动的描述，只能用电子云中的疏密区域来描述电子在这些区域出现的可能性大小，区域越密集，说明电子出现的机会越多。可见，这种运动规律已不符合牛顿力学定律。

而对于与我们的经验和直觉相符的经典物理学，如经典力学规律适用于宏观低速(远小于真空中的光速)物体，而高速运动时，适用于与我们的日常生活经验和常识相悖的相对论。它们都是决定论在起作用，具有确定性，如经典力学里，可以同时确定并预测物体现在、过去和未来的位置和动量、加速度、角动量、能量等物理量，又如，运用牛顿力学可准确运算并预测出一些天体的运动轨迹和相关数据，如可用牛顿力学成功描述和预测太阳系内除水星以外的所有行星、卫星的运动轨迹。

因此，从物质世界的角度来看，由于宏观物体都由数目庞大的微观粒子构成。虽然每个粒子的运动规律服从量子力学规律(如亚原子粒子)，但大量粒子(如物质保持其化学性质的相对单元分子) 的集合的宏观运动规律又遵从统计力学规律，且大量粒子通过凝聚或凝聚趋势结合成宏观物体时，由于粒子之间因引力、斥力等作用相互束缚和影响，导致宏观物体的机械运动不确定性(随机性)不明显，基本上可以忽略不计，如宏观物体在任一时刻具有确定的位置和速度，具有确定的状态和温度。这就好比力学和机械常识里的已安好相对于地面固定不动的机器底座或机架，这时它们完全被膨胀螺丝、地脚螺栓等零件束缚，其自由度为0，但没有安装时，其在空间可以有6个自由度，即决定这些零件的运动状态或空间位置所需要的独立坐标数，它表现为沿笛卡尔直角坐标系中三个坐标轴方向移动和绕着它们转动的自由度 。

以上两类随机现象例子，恰恰反映了哲学常识里的一则真理：偶然性与必然性相互依存，缺一不可，偶然性是必然性的表现和补充，偶然性的背后隐藏着必然性，必然性必须通过大量的偶然性表现出来。例如，在同一个领域或行业，对于任何有正确理想信念和努力奋斗方法的人，最后必然会取得成就，但对于不同的人，其取得成就的时间往往是不相同的，有的早一些，有的晚一些，在时间上具有一定的随机性 ，即他们最终必然会取得成就，但在时间上是有一定变数的。

综上举例和论证，恰好反映了一般系统论常识里所说的系统即由相互作用和相互依赖、相互制约的若干组成部分(即要素或元素，它可以是子系统)而产生的有目的的联系，从而结合成具有特定层次、组织和功能的有机整体，且系统的功能大于其组成部分之和，即通过大量组成元素的有机联系，使其在整体上发生了功能性质变。如上述例子中的所有模糊集中的那些公共元素，尽管在各模糊集里存在不确定度，然而在总体上质变为确定元素；又如，上述例子中的任何一个宏观物体的组成粒子 (常见的原子和分子)的运动具有不确定性 ，但它们构成宏观物体后，就质变为可用经典物理学(如牛顿力学)正确描述的确定性宏观物理量，如位置、速度、动量。

由此可见，事物的确定性是系统化的、质变的不确定性，它包容了事物的大量随机和模糊属性。

——科学技术类随笔浅论集之数学科学(2)

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