初二数学角平分线性质（初中数学初二上册）

例一：如图，D,E,F分别是△ABC的三边上的点，CE=BF，△DCE和△DBF的面积相等。

求证：AD平分∠BAC

1、欲证AD平分∠BAC，我们有两种思路。第一种：证明∠BAD=∠CAD。第二种：证明点D到AB和AC的距离相等。

2、根据CE=BF，△DCE和△DBF的面积相等这两个条件，我们选择第二个思路。可以过点D作DH⊥AB，DG⊥AC，垂足分别为H,G。此时分别以CE和BF为底，△DCE的面积=½CE·D G，△DBF的面积=½BF·DH；所以DG=DH。

3、因为DH⊥AB，DG⊥AC；所以点D在∠BAC的平分线上，即AD平分∠BAC。

证明：

点D作DH⊥AB，DG⊥AC，垂足分别为H,G

∵△DCE的面积=△DBF的面积

△DCE的面积=½CE·D G

△DBF的面积=½BF·DH

∴½CE·D G=½BF·DH

∵CE=BF

∴DG=DH（等量代换）

∵DH⊥AB，DG⊥AC，DG=DH（角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上）

∴点D在∠BAC的平分线上

即AD平分∠BAC

例二：如图，AB=DC，∠A=∠D。

求证：∠ABC=∠DCB

1、本题条件非常简单，因为需要添加辅助线，所以本题难度稍高。由AB=DC，∠A=∠D，想到如果取AD的中点N，连接NB、NC，再由“SAS”可以证明△ABN≌△DCN，从而得到结论BN=CN，∠ABN=∠DCN。

2、如果能够证明∠NBC=∠NCB的话，我们就能够证明∠ABC=∠DCB。

3、我们再取BC的中点M，连接MN，则可用“SSS”证明△NBM≌△NCM，从而得到结论∠NBC=∠NCB。

证明：

分别取AD、BC的中点N、M，连接NB、MN、NC，则AN=DN，BM=CM。

∵N、M分别是AD、BC的中点

∴AN=DN

BM=CM

在△ABN和△DCN中

AN=DN （已证）

∠A=∠D （已知）

AB=DC （已知）

∴△ABN≌△DCN（SAS）

∴BN=CN （全等三角形的对应边相等）

∠ABN=∠DCN (全等三角形的对应角相等）

在△NBM和△NCM中

BN=CN （已证）

BM=CM （已证）

NM=NM （公共边）

∴△NBM≌△NCM（SSS）

∴∠NBC=∠NCB (全等三角形的对应角相等）

∵∠ABC=∠ABN ∠NBC

∠DCB=∠DCN ∠NCB

∴∠ABN ∠NBC=∠DCN ∠NCB（等量代换）

即∠ABC=∠DCB

小结：

证明两角相等的常见方法有：

1、同角（等角）的余角（补角）相等

2、平行线的性质

3、对顶角相等

4、全等三角形的对应角相等

5、角平分线的定义

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