平面直角坐标系中画等腰三角形（在平面直角坐标系中构造等腰三角形）

• 分类讨论思路是初中数学中常用的一种解题思路和方法，在初中数学的代数部分和几何部分都有所涉及和运用。特别是在一些几何探究题和动点问题中，经常会运用到分类讨论思路，在中考的压轴题中，分类讨论思路很常见。
• 在解决等腰三角形的问题中，经常会运用到分类讨论思路。就如我们今天的这道题目，确定等腰三三角形的一条边，需要要么在平面直角坐标系的x轴上寻找另外一点，构造等腰三角形。我们知道等腰三角形的边分为腰和底边，题目中未明确到底已知边是腰还是底边，那么这个时候就应该进行分类讨论。
• 本篇文章就以这个题目为例来讨论在等腰三角形中如何运用分类讨论思路，思路是什么，如何才能有序地找到所有的点，并且不重复也不遗漏。

先来看看问题：

• 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标（3，1），在X轴上找一点B，使得三角形AOB为等腰三角形，求点B的坐标。

分析题目的条件：

• 已知坐标原点0(0,0)和A(3,1)，要在x轴上寻找另外一点B，满足三角形0AB为等腰三角形。

• 条件比较简单，就已知两个点，要求再在x轴上找一个点，构造等腰三角形。该如何来思考了，点0和点A都是要求的这个三角形的顶底，也就是说现在已知了等腰三角形的一条边，需要再找出另外一个顶点，构造等腰三角形。

• 题目就转换为已知边0A，构造等腰三角形了。在等腰三角形中一定要注意一个知识点，什么呢？分类讨论。为什么呢？因为等腰三角形的三边有两条腰和一条底边。如果题目中没有告诉我们已知边是底边还是腰，就需要分不同的情况去分析、讨论，这个题目就是这个思路。

• 经过简单分析后，我们建立了平面直角坐标系，并且在坐标系中标出了点A的位置，如图所示：

已知OA边，但并不知道到底0A边是底边还是腰，那就需要分两种情况去分析和讨论：

• 1、以OA边为底边，那么点B必然在OA的垂直平分线上，在这个题目中也点B就是OA的垂直平分线与X轴的交点；

• 2、以OA为腰，这个时候又得继续去分类思考：

① 以O为顶点，可以怎么做呢？以点0为圆心，OA的长为半径化弧，与x轴的交点即为所求；

② 以A为顶点，可以怎么做呢？以点A为圆心，AO的长为半径化弧，与x轴的交点即为所求；

整体来分析，这道题目一共有三种不同的情况。做这道题目关键就是要做到不要重复和遗漏，要做到这一点就需要有序讨论和思考。

上面是我们的简单的分析和思考的过程，下面我们来具体解答，在这个过程中还需要运用到得要三角形、直角三角形、平面直角坐标系的相关知识点，整体来看，有一定的综合性。

分析解答：

在上面的分析过程中，我们得到这个题目一共有三种不同的情况，那我们就分别来进行运算，找到对应的点B。

刚刚已经分析过了，若以OA边为底边，那么点B必然在OA的垂直平分线上，点B就是OA的垂直平分线与X轴的交点，这是根据等腰三角形的性质得到的。如下图所示，

找到点B的位置，然后根据等腰三角形的性质及直角三角形的性质结合方程思路和勾股定理进行计算就可以求出点B的坐标。

• 2、以OA边为腰，且以O为顶点：

以OA为腰且以O为顶点，可以怎么做呢？

以点0为圆心，OA的长为半径化弧，与x轴的交点即为所求；如下图所示：

此时只要能找出点B的位置，求坐标就比较简单，先利用勾股定理求出OA 的长度，再结合点B的位置就可以直接写出点B的坐标，注意有两个，不要漏掉x轴负半轴上的那个点。

• 3、以OA边为腰，且以A为顶点：

以OA为腰且以A为顶点，可以怎么做呢？

以点A为圆心，AO的长为半径化弧，与x轴的交点即为所求；如下图所示：

此时只要能找出点B的位置，求坐标就比较简单，合点B的位置及等腰三角形的性质就可以直接写出点B的坐标。

那么综上所述，满足条件的点一共有四个。

再来做一个简单的总结，本题目中主要考查的是等腰三角形中的分类讨论思路，因为已知边未定是底边还是腰，所以需要分不同的情况进行分类讨论。

思考：

如果这个题目的条件稍微做一改变，点B不是在x轴上，而是在坐标轴上的话，满足条件的点有几个呢？思考一下，欢迎大家一起交流、讨论和学习。