多元复合函数与隐函数的求导法则（万变不离其宗隐函数求导和洛必塔法则）

这是《机器学习中的数学基础》的第13篇，也是微积分的第6篇。

今天我们来看几招求导的妙用，让你不知不觉中掌握微分的高级功法。

• 隐函数求导

话不多说，我们先来看隐函数如何求导。那什么是隐函数呢？比如x² y²=1，它没有用y=f(x)的显式表达，因此就把它叫做隐函数。我们先把它的图像画出来：

如上图，我们画了一个单位圆，现在我们想求点A(a,b)处的导数，该怎么办呢？有人说，我们可以把x² y²=1写成y=f(x)的形式，再进行求导呀。没错，但这样做很麻烦，因为要进行很多转化。那有没有更简洁的方法呢？

有的，就是对等式两边同时求导。我们即可得到：2xdx 2ydy=0.然后，我们化简成导数的形式，也就是dy/dx=-x/y （1）。这就是我们要求的结果，也就是说，某一点A(a,b)的导数，就等于把该点的坐标(a,b)代入到（1）式，即可求得。

你看，是不是很方便呢？

• 洛必塔法则

接下来我们来看洛必塔法则。这个法则是干嘛的呢？它是用来求函数在某点处的极限的。比如，我们要求函数y=x³在x=0处的极限，直接把x=0代入到函数中，得到的值是0，这就是所求的极限。

但有时候，比如我们求y=sinx/x在x=0处的极限，把x=0代入后，发现分子分母都为0，没有意义；还有一种情况是求y=xlnx在x=0处的极限，把x=0代入后，是0·∞的形式，也不能直接代入求解。那这两种情况该怎么办呢？

先看第一种0/0式的情况，我们可以直接对函数y=sinx/x的分子分母分别求导，因为sinx和x这两个函数在x=0处的导数与x=0处的极限的含义是相同的。因此，求导后可以得到cosx/1=cosx。然后把x=0代入，得到1。所以y=sinx/x在x=0处的极限就是1。

再来看第二种情况，y=xlnx可以写成lnx/x^-1.把x=0代入，发现分子分母都是∞，因此它可以转化成∞/∞的形式。这种情况下，我们还是对分子分母分别求导，可以得到：

再把x=0代入上式，得到结果为0，所以y=xlnx在x=0处的极限就是0。

这就是今天的全部内容，欢迎留言讨论。