平行四边形与三角形面积练习题（2013年全国初中数学联赛题）

证明ab＋cd＝ef（其中a、b、c、d、e、f为图中已知的线段）几何题历来是中学数学学习中难点，面对这类问题一开始就令人觉得无从下手，或思考不了几步便黔驴技穷，最终都不得不遗憾地放弃．

事实上这类问题的证明很简单，只需要遵循“截相似，证相似”即可。即在某个三角形中截取一个三角形，使它与某个三角形构成一对相似三角形，然后再证另一对相似三角形。

具体请看以下几例．

例1　如图1，AB是半圆的直径，弦AC、BD相交于点E．

求证：AE·AC＋BE·BD＝AB²．

解析：首先考虑到AB为直径，连接AD、BC，则∠C=∠D=90°。

作EF⊥AB于F，则可得两对相似三角形，即△AEF∽△ABC，△BEF∽△BAD，

所以AE/AB=AF/AC，BE/BA=BF/BD，

所以AE·AC=AF·AB，

BE·BD=BF·BA，

两式相加，得

AE·AC＋BE·BD＝AF·AB BF·BA=

AB（AF BF）=AB ·AB =AB²．

例2　如图2，ABCD是圆内接四边形．

求证：AB·CD＋AD·BC＝AC·BD（托勒密定理）．

解析：因为∠BAC=∠BDC，所以可在AC上取一点E，使△BAE∽△BDC，则

AB/BD=AE/DC，∠AEB=∠DCB，

所以AB·CD=BD·AE……（1）

因为∠AEB=∠ACB ∠EBC，

∠DCE=∠DCA ∠ACB，

所以∠EBC=∠DCA，

又∠DCA=∠ABD，

所以∠EBC=∠ABD，

又∠BCE=∠BDA，

所以△BCE∽△BDA，

所以BC/BD=CE/AD，

所以AD·BC=BD·CE……（2）

（1） （2），得

AB·CD AD·BC=BD·AE BD·CE=BD（AE CE）=BD·AC.

例3 如图3，等腰ΔABC中，AB＝AC，D是底边BC上任一点．

求证：AB²=AD²＋BD·DC．

解析：因为AB=AC，

所以∠B=∠C。

故在AB上取点E，使∠BDE=∠CAD，

则△BDE∽△CAD，

所以BD/AC=BE/DC，

所以BD·DC=AC·BE………（1）

因为∠AED=∠B ∠BDE，

∠ADB=∠C ∠CAD，

所以∠AED=∠ADB，

又∠DAE=∠BAD（公共角），

所以△ADE∽△ABD，

所以AD/AB=AE/AD，

所以AD²=AB·AE……（2）

（1） （2），得

BD·DC AD²=AC·BE AB·AE=AB（BE AE）=AB·AC=AB²，

所以AB²=AD²＋BD·DC．

例4（2013年全国初中数学联赛题）如图4，圆内接四边形ABCD中，CB＝CD．

求证：CA²－CB²＝AB·AD．

证明：因为CB=CD，

所以∠BAC=∠DAC，

作∠ABE=∠DCA，BE交AC于E，

则△ABE∽△ACD，∠AEB=∠D，

所以AB/CA=AE/AD，

所以AB·AD=CA·AE……（1）

因为∠D与∠ABC互补，∠AEB与∠BEC互补，

所以∠BEC=∠ABC，

又∠BCE=∠ACB（公共角），

所以△BCE∽△ACB，

所以BC/CA=CE/BC，

所以BC²=CA·CE……（2）

（1） （2），得

AB·AD BC²=CA·AE CA·CE=CA（AE CE）=CA²,

所以CA²－CB²＝AB·AD．

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