线性空间就是欧氏空间（当线性映射是单射或满射时）

设δ是从线性空间V到线性空间W的线性映射，我来为大家科普一下关于线性空间就是欧氏空间?下面希望有你要的答案，我们一起来看看吧!

线性空间就是欧氏空间

设δ是从线性空间V到线性空间W的线性映射

像空间

向量空间V在线性映射δ之下的像是W的一个子空间，叫作δ的像，记作Im（δ）

即，Im（δ）=δ（V）

1、若δ是满射，则Im（δ）=W

证明：因为δ是满射，所以

任意ξ属于W，都存在η属于V，使得

δ（η）=ξ

再根据像空间的定义，可知

Im（δ）=W

2、若Im（δ）=W，则δ是满射

证明：假设δ不是满射，则

存在ξ属于W，不存在η属于V，使得

δ（η）=ξ，这与已知条件相互矛盾

所以，δ是满射

核空间

W的零子空间{0}在δ之下的原像是V的一个子空间，叫作δ的核，记作Ker(δ)

即，Ker(δ)={ξ∈V|δ(ξ)=0}

1、若δ是单射，则Ker(δ)={0}

证明：因为δ是单射，所以

任意ξ，η∈V，只要ξ≠η，那么

δ（ξ）≠δ（η）

所以，在V中只有0，才能使δ（0）=0

2、若Ker(δ)={0}，则δ是单射

证明：任意ξ，η属于V，如果δ（ξ）＝δ（η），那么

δ（ξ）-δ（η）=δ（ξ-η）=0

所以，ξ-η∈Ker(δ)={0}

即，ξ＝η

所以，δ是单射

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