三角函数一定要记住重要结论（三角函数的重要公式）

#创作挑战赛#

高中数学基础知识非常重要，但是有一些题目却不一定要用到这些基础知识，而是可以选择更简便的方法，特别常见于选择题。比如下面这道2022年新高考数学全国卷II，关于三角函数公式的选择题。当然可以利用几个常用的三角函数公式来解决，但也可以绕开这些公式，解决起来会更简便。

若sin(α β) cos(α β)=2√2cos(α π/4)sinβ, 则

A. tan(α β)=-1；B. tan(α β)=1;C. tan(α-β)=-1；D. tan(α-β)=1.

分析：这道题当然是有速解的方法的，但是老黄担心你听完速解的方法，就不管一般的方法了，所以决定先讲一般的解法，基础扎实才是王道啊。

一个角的正弦与余弦的和，可以化为这个角与四分之π的和的正弦函数的√2倍，这个公式一定要记牢哦。

如果是sina cosa=√2sin(a π/4)的形式，可能更多人容易接受，但这里的角却是“α β”，有些小伙伴可能就会适应不了了。

然后把等式右边的正弦看作两角和的正弦，一个角是α π/4，另一个角是β。运用“和的正弦公式”展开，就可以得到√2sin(α π/4)cosβ √2cos(α π/4)sinβ=2√2cos(α π/4)sinβ.

现在等式两边有同类项，进行移项合并，并且可以选择约掉系数√2，得到：sin(α π/4)cosβ-cos(α π/4)sinβ=0.

不过留着√2也不是没用的。现在运用两角差的正弦公式的逆公式，可以得到sin(α-β π/4)=0.

观察这个式子，有没有发现，它是第一步的一个逆过程，即可以转化为同一个角的正弦和余弦的和的形式，只不过这次这个角变成了“α-β”，而不是“α β”了。

即sin(α-β) cos(α-β)=0,从而可知，α-β的正弦和余弦互为相反数。因此有tan(α-β)=sin(α-β)/cos(α-β)=-1, 选C.

整个解题过程其实是对称的，感觉还是相当解压的。不过这种解法很容易引来网友的吐槽，因为聪明的人太多，他们一眼就能看出，老黄的这个解法太过拖沓。只要运用“特值法”，这道题就可以轻松地解决。聪明人是不会为老黄这样的笨人考虑一下的。下面老黄就给有需要的小伙伴们介绍速解的方法。

只要取β=0，那么就有sinα cosα=0, 再取α=-π/4, 从而tan(α β)=-1，tan(α-β)=-1;，这样就可以排除B、D选项。但却不能肯定C是正确的。因为想要否定一件事情，只需一个特例就足够了。但想要证明一件事情，一个特例却并不足够。

其中β是任取的，只要取一个适合运算的值就可以了，而α并不是任取的，因为一个周期内，有两个α满足正弦和余弦相反的条件。从而在每个周期中都有符合条件的α，这样的α有无穷个，我们只要取一个符合条件，且方便我们运算的就可以了。

再取α=０，同样是任取的。那么就有sinβ cosβ=2sinβ, 可化得sinβ=cosβ，从而可以在无数个满足条件的β中取β=π/4, 则tan(α β)=1，排除A. 选C. 虽然理论上我们并没有证明C是正确的，但也没有确定它是错误的。而A，B，D已经确定错误，除非题目没有正确的选项，否则就只能选C。

严格来说，这种方法不能称为简便解法，因为它其实是不严谨的。实际上它是探究问题的一种方法，但一般只是探究问题整个过程中的一个部分，在考试中可以用来解决选择或填空等小题，不能当作一种完整严谨的解法。你怎么看呢？