数学思维训练对称关系 数学思维训练十

各位同学大家好，今天我们来讲一些数学小知识，带你感受一下数学的魅力，你还会掌握数学的基础理念，对数学是什么，有更加深刻的理解，更加关键的是，你将从这门课中爱上数学，让数学成为你的学习和生活中的好伙伴。我们今天分享的主题是韩信点兵，听到这个问题你可能会想，难道老师要分享兵法吗？这里我先卖个关子，不过你可以先思考一下这个问题，如果，让你数一堆黑压压的军队里一共有多少士兵，你会怎么数？而且前提是在不被别人知道的情况之下。我们先回到汉朝，去看看大将军韩信是如何点兵的。传说再一次阅兵操练的时候，值日官向韩信报告。2000名士兵全部到齐，韩信一声不响的走到点将台上，挥动令旗，分三次进行队列变换。第一次让士兵排成三列纵队，结果多出了两个人，第二次排成五列纵队，结果多出三个人。最后一次排成七列纵队，结果多出四个，等三个列队结束，韩信瞪着眼睛就问值日官，有57人没到，怎么说全部到齐了？这个时候，站在一旁的值日官愣住了，他花了半天都没数明白的人数，怎么韩信变了三次列队就数清楚了呢？于是他派人又认真清点之后，发现确实只有1943人。这就是韩信点兵的问题。

韩信也没想到，自己多年的沙场点兵的经验，竟然衍生出一个经典的数学问题，那就是物不知其数问题。物不知其数，用现代的话讲，就是不知道一种事物的数量。这道题目出自孙子算经，他是这样写的，今有物不知其数，三三数之剩2。五五数之剩3。七七数之剩二，问物几何？意思就是说，如果一个自然数满足被三除余二，被五除余三，被七除余二，那么这个数是多少呢？同学们，你在生活中遇到过类似的问题吗？其实啊，这问题的原理很简单，就是已知余数和除数，反过来求被除数的问题。如果你还没有完全理解，那我呢？把问题改一改，你就容易理解了。比如把原题变成，今有物不知其数，三三数之剩1，五五数之剩1，七七数之剩一，问物几何？这就变成了同余问题。也就是说，同余问题其实就是物不知其数问题里余数都相同的一种情况。我们先来解决更加简单的同余问题。这个问题怎么解呢？我们首先来分析一下题目。三三数之剩一，意思就是这个数除以三，余数是一，也就是被除数是三的倍数加1，五五数之剩一，意思是这个数除以五，余数也是一，也就是被除数是五的倍数加1，七七数之剩一，意思是这数啊除以七还剩一，也就是被除数是七的倍数加一。

好了，我们再来整理一下已知条件，我们要求的这个数是3，5，7的倍数加一。这个问题又发生了一次巧妙的转化，那就是倍数问题。在数学里，两个或多个整数，公有的倍数叫它们的公倍数，所以说我们可以先求出3，5，7这三个数的公倍数，然后再加一，就能求出答案。3，5，7这三个数都是质数，所以它们的公倍数可以用乘积来表示。所以通过计算公倍数，然后再加上相同的余数1，这样就求出答案了。那么当余数不一样，应该怎么计算呢？古人呢早就研究出了解题方法，明朝的数学家程大位为了教学方便，把解法编成了一首歌谣：三人同行七十稀，五树梅花二一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知。

这种解法的实质是先分别求出满足条件的被除数，再根据求出的被除数找出同时符合这三个条件的数，最后根据求出来的数去找符合原题意最小的数。这种解法对于古人来说已经很先进了，但是。如今我们可以用公倍数的思想，通过枚举法就可以很快解决。比如我们先列举出除以三余二的数，它们分别是五，八，十一，十四，十七，二十，二十三，二十六等等。除了韩信点兵问题，数学世界中还有很多有意思的小问题，我们就到这里暂时跟大家告别，明天再继续的介绍奥数解题技巧。好了，我们来总结一下今天你都学到了哪些关键的知识点。第一，韩信点兵问题后来衍生出一道经典的数学问题，那就是物不知其数的问题，这个问题的实质就是已知除数和余数求被除数的问题。第二，物不知其数问题的一种简化情况叫做同余问题，同余问题可以通过计算公倍数的方法得到答案。第三，古人使用枚举法计算物不知其数问题，但随着公倍数的发现，我们可以使用更加简便的公倍数思想快速的解开物不知其数问题。同学们，恭喜你完成了今天的数学思维训练，我们明天再见。如果大家觉得有用，欢迎点赞关注“蜻蜓”，我会利用假期时间给大家分享更多的数学思维训练视频。