数学思维训练对称关系 数学思维训练十

各位同学大家好,今天我们来讲一些数学小知识,带你感受一下数学的魅力,你还会掌握数学的基础理念,对数学是什么,有更加深刻的理解,更加关键的是,你将从这门课中爱上数学,让数学成为你的学习和生活中的好伙伴。我们今天分享的主题是韩信点兵,听到这个问题你可能会想,难道老师要分享兵法吗?这里我先卖个关子,不过你可以先思考一下这个问题,如果,让你数一堆黑压压的军队里一共有多少士兵,你会怎么数?而且前提是在不被别人知道的情况之下。我们先回到汉朝,去看看大将军韩信是如何点兵的。传说再一次阅兵操练的时候,值日官向韩信报告。2000名士兵全部到齐,韩信一声不响的走到点将台上,挥动令旗,分三次进行队列变换。第一次让士兵排成三列纵队,结果多出了两个人,第二次排成五列纵队,结果多出三个人。最后一次排成七列纵队,结果多出四个,等三个列队结束,韩信瞪着眼睛就问值日官,有57人没到,怎么说全部到齐了?这个时候,站在一旁的值日官愣住了,他花了半天都没数明白的人数,怎么韩信变了三次列队就数清楚了呢?于是他派人又认真清点之后,发现确实只有1943人。这就是韩信点兵的问题。

数学思维训练对称关系 数学思维训练十(1)

韩信也没想到,自己多年的沙场点兵的经验,竟然衍生出一个经典的数学问题,那就是物不知其数问题。物不知其数,用现代的话讲,就是不知道一种事物的数量。这道题目出自孙子算经,他是这样写的,今有物不知其数,三三数之剩2。五五数之剩3。七七数之剩二,问物几何?意思就是说,如果一个自然数满足被三除余二,被五除余三,被七除余二,那么这个数是多少呢?同学们,你在生活中遇到过类似的问题吗?其实啊,这问题的原理很简单,就是已知余数和除数,反过来求被除数的问题。如果你还没有完全理解,那我呢?把问题改一改,你就容易理解了。比如把原题变成,今有物不知其数,三三数之剩1,五五数之剩1,七七数之剩一,问物几何?这就变成了同余问题。也就是说,同余问题其实就是物不知其数问题里余数都相同的一种情况。我们先来解决更加简单的同余问题。这个问题怎么解呢?我们首先来分析一下题目。三三数之剩一,意思就是这个数除以三,余数是一,也就是被除数是三的倍数加1,五五数之剩一,意思是这个数除以五,余数也是一,也就是被除数是五的倍数加1,七七数之剩一,意思是这数啊除以七还剩一,也就是被除数是七的倍数加一。

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好了,我们再来整理一下已知条件,我们要求的这个数是3,5,7的倍数加一。这个问题又发生了一次巧妙的转化,那就是倍数问题。在数学里,两个或多个整数,公有的倍数叫它们的公倍数,所以说我们可以先求出3,5,7这三个数的公倍数,然后再加一,就能求出答案。3,5,7这三个数都是质数,所以它们的公倍数可以用乘积来表示。所以通过计算公倍数,然后再加上相同的余数1,这样就求出答案了。那么当余数不一样,应该怎么计算呢?古人呢早就研究出了解题方法,明朝的数学家程大位为了教学方便,把解法编成了一首歌谣:三人同行七十稀,五树梅花二一枝,七子团圆正半月,除百零五便得知。

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这种解法的实质是先分别求出满足条件的被除数,再根据求出的被除数找出同时符合这三个条件的数,最后根据求出来的数去找符合原题意最小的数。这种解法对于古人来说已经很先进了,但是。如今我们可以用公倍数的思想,通过枚举法就可以很快解决。比如我们先列举出除以三余二的数,它们分别是五,八,十一,十四,十七,二十,二十三,二十六等等。除了韩信点兵问题,数学世界中还有很多有意思的小问题,我们就到这里暂时跟大家告别,明天再继续的介绍奥数解题技巧。好了,我们来总结一下今天你都学到了哪些关键的知识点。第一,韩信点兵问题后来衍生出一道经典的数学问题,那就是物不知其数的问题,这个问题的实质就是已知除数和余数求被除数的问题。第二,物不知其数问题的一种简化情况叫做同余问题,同余问题可以通过计算公倍数的方法得到答案。第三,古人使用枚举法计算物不知其数问题,但随着公倍数的发现,我们可以使用更加简便的公倍数思想快速的解开物不知其数问题。同学们,恭喜你完成了今天的数学思维训练,我们明天再见。如果大家觉得有用,欢迎点赞关注“蜻蜓”,我会利用假期时间给大家分享更多的数学思维训练视频。

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