使用格林公式满足的条件（格林公式及其使用）

在数学中有很多有趣的现象，比如定积分问题，它的积分区域明明是一个线段（一个区间)，但最终我们可以把它转换为两个线段两个端点的函数差。二重积分的积分区域明明是一个面，但我们也可以把它转换为积分区域的边界线的曲线积分。

对于二重积分和曲线积分的转换问题，需要用到一个非常著名的公式—格林公式。它是沟通曲线积分和二重积分的桥梁。有时候二重积分难以计算，可以通过格林公式转化为对坐标的曲线积分；而有时候对坐标的曲线积分难以计算时，也可以通过格林公式转化为二重积分计算。经过格林公式转化，往往会得出一些出乎意料的效果，计算将大为简化。例如，有时我们可以把一个规则图形的曲线积分转换为求面积问题，而规则图形的面积是我们烂熟于心的，如矩形、圆、椭圆等。

在了解格林公式之前，需要完成一些准备工作。

首先引入平面单（复）连通区域的概念。

单连通区域：区域D内的任意一条封闭曲线所围内部区域仍然在D的内部，或称无“洞”区域。如下图所示：

单连通区域

复连通区域：非单连通的闭区域或称为有“洞”区域。

复连通区域

方向：区域D边界L的正向是区域的内部靠左。即当人沿着边界L行走时，区域D总是在人的左手边，否则为负向。如图红色箭头所示就是区域的正向。

现在我们可以正式学习格林公式。它的具体描述为：设有界闭区域D是由分段光滑曲线L围成，函数P(x，y)，Q(x，y)在D上具有连续一阶偏导数，则有：

其中曲线L取正向。

对于格林公式的证明几乎所有的高等数学书都会涉及，我们在这里就不讨论了。但我们要注意使用格林公式时，必须是在满足定理的条件下才能使用格林公式，否则会得到错误的结论。需要注意以下几个问题：

1.函数P(x，y)，Q(x，y)在区域D上必须具有连续一阶偏导数。

2.在利用格林公式计算对坐标的曲线积分时，曲线L是有向封闭的光滑的（或分段光滑的）若L不封闭，则可以添加辅助线使其封闭，然后再用格林公式计算，但是同时还要减去添加的辅助线部分的曲线积分。

下面学习一个例题，加深我们对格林公式的理解。

例：计算

其中L为不过原点的分段光滑正向封闭曲线。注意，积分函数的分母是不能为0的。

解：依题意，设L所围区域为D，且令

在这里需要分两种情况进行讨论，一种是区域D包含原点，另一种是区域D不包含原点。

（1）当(0，0)不属于D时，如下图，可以直接运用格林公式。

（2）当(0，0)属于D时，因为不满足格林公式条件，则不可以直接运用格林公式。

我们通过在D内作圆周

取逆时针方向。记L和l的负向所围得区域为D1，则可以在区域D1内使用格林公式，如图：

则：

用极坐标变化可得：

这样，我们就很巧妙得求出了结果。相信现在大家对格林公式应该理解加深了吧！

最后，我们介绍一下伟大得数学家格林的故事。

乔治·格林(Green,George)英国数学家。1793年6月生于英国诺丁汉郡;1841年5月卒于诺汉丁郡。格林8岁时曾就读于一所私立学校，在校表现出非凡的数学才能。可惜这段学习仅延续了一年左右。1802年夏天，格林就辍学回家，在父亲开的磨坊做工。

但格林始终未忘记他对数学的爱好，以惊人的毅力坚持白天工作，晚上自学，把磨坊顶楼当作书斋，通过钻研，格林不仅掌握了纯熟的分析方法，而且能创造性地发展、应用。于1828年完成了他的第一篇也是最重要的论文—“论数学分析在电磁理论中的应用”。这篇论文是靠他的朋友集资印发的，订阅人中有一位勃隆黑德爵士，是林肯郡的贵族，皇家学会会员。勃隆黑德发现了论文作者的数学才能，特地在自己的庄园接见格林，鼓励他继续研究数学。

与勃隆黑德的结识成为格林一生的转折。勃隆黑德系剑桥大学冈维尔一凯厄斯学院出身，且又是剑桥分析学会的创始人之一。他建议格林到剑桥深造。1829年1月，格林的父亲去世，格林获得一笔遗产和重新选择职业的自由，遂将磨坊变卖，全力以赴为进入剑桥大学作准备。这期间他又完成了三篇论文，均由勃隆黑德爵士推荐发表。1833年10月，年已40的格林终于跨进了剑桥大学的大门，成为冈维尔一凯厄斯学院的自费生。经过4年艰苦的学习，1837年获剑桥数学荣誉考试一等第四名，翌年获学士学位，1839年当选为冈维尔一凯厄斯学院院委。正当一条更加宽广的科学道路在格林面前豁然展现之时，这位磨坊工出身的数学家却积劳成疾，不得不回家乡休养，于1841年5月31日在诺丁病故。

格林生前长期与磨坊领班史密斯的女儿简同居，但始终未正式结婚，最初可能是由于他父亲反对这门婚事，后来则因剑桥冈维尔一凯厄斯学院院委资格只授予单身汉，格林为了事业只好放弃正式结婚的打算。格林去世后，简被承认为其合法遗孀，人们都称其为"格林夫人"，他们生有两个儿子、五个女儿。

格林短促的一生，共发表过10篇数学论文，这些原始著作数量不大，却包含了影响19世纪数学物理发展的宝贵思想。以他的名字命名的数学名词有格林定理，格林函数等。其中最常用的就是将微积分中的"平面第二类曲线积分"转换为平面面积积分的"格林公式"，该公式在大学高等数学的教学中，起到了承上启下的作用，从普通二元函数积分过渡到了空间曲面第二类积分，同时也是"高斯公式"的教学基础之一。