数学初二无理数(初中数学51无理数)

在上一期节目中,我们通过希帕索斯的故事发现,根号2所表达的数字,是一个不同于整数和分数的无限不循环小数,那么,这样的数它叫什么数呢?哎,别着急,在本期节目里呀,咱们把初中数学中所涉及到的所有数字类型,从头到尾的梳理一遍,我来为大家科普一下关于数学初二无理数?下面希望有你要的答案,我们一起来看看吧!

数学初二无理数(初中数学51无理数)

数学初二无理数

在上一期节目中,我们通过希帕索斯的故事发现,根号2所表达的数字,是一个不同于整数和分数的无限不循环小数,那么,这样的数它叫什么数呢?哎,别着急,在本期节目里呀,咱们把初中数学中所涉及到的所有数字类型,从头到尾的梳理一遍。

首先,咱们知道有12345这些自然数,自然数呢,都是从1,往后一个一个加,慢慢儿加出来的。那么,有了加法,就得有减法呀,两个小的自然数一加,就得到一个大的自然数,反过来,这大数减小数呢,就还能得到一个小的自然数,可是,如果这个小数减大数呢?它就得到了负数,有了正数负数,那自然就必须得有0了。如果我们把这个自然数负数和0整到一起,就统称整数儿。

而且,我们还知道了,乘法是快速的加法,两个整数相乘,相当于几个整数连着相加,结果呢,就仍然是一个整数。所以这个乘法呀,它是产生不了新的数字类型的,但乘法不行,它不是还有除法呢吗?当两数相乘的时候呀,增长的速度奔二快,比方说3*2=6,3*3=9,那6跟9中间儿的数字除以3怎么办呢?结果肯定没法整除呀,这样一来就产生了分数。哎,发现没有呀,无论是减法还是除法,这只要有逆运算,它就会产生新的数字类型。整数和分数合在一起呀,我们就统称他们为有理数。就是有道理的那个有理。那你说了,这整数和分数它有什么道理呀,没什么道理,其实这是一种翻译错误,最早这个词的含义是可比数或者可分的数,但是当欧洲的这个数学教材先传到日本,经过日本翻译以后呀,他们就把这个可比数,翻成了有理数,然后就一直这么叫了。不管它叫什么吧,有了有理数呀,那就得有无理数。无理数是什么呀,哎,就是今天咱们要讨论的像根号2这样的无限不循环小数。

咱们都知道呀,这乘方和开方是互为逆运算的,乘方和加法乘法是类似的,他们都是正向的运算,所以靠乘方呀,不会带来新的数据类型,但是开方就不一样了,你这个乘方的增长速度这么快,肯定中间就会跳过好多数字儿呀,比方说1的2次方是1,2的2次方是4,那在1和4之间的2、3怎么办呢?哪个数儿的平方是2,哪个数字儿的平方是3呀,没办法,无论是整数还是分数,没有任何一个数的平方是2,所以这个结果,就只能通过根号2来表示。根号2是无理数,根号3也是无理数,那么是不是所有的无理数都是开方开不出来的数字儿呢,不是这样,只要是无限不循环小数,它都是无理数!比方说,我们熟知的圆周率π,它也是一个无理数。

有理数和无理数合在一起,统称实数。实数,按照负号分,可以分为正数负数和0,按照算法分呢,就可以分为整数、分数和无理数。这就是初中阶段我们所能接触的全部的数字类型。那你说,不对呀,我们还学过有限小数和无限循环小数呢?哎,这些小数呀,是全部都可以化为分数的,今天呐,我们就把这个知识点带给大家:

首先,这个有限小数都能变成分数,这个大家是很容易理解的,比方说0.3,他就是十分之三,2.54呢,就是一百分之二百五十四。不管你的小数位数有多长,我只要在1后边儿多加上几个0就行了。那么循环小数呢?所有的循环小数都能变成分数吗?可以的!这个循环小数变分数的时候啊,只要用循环的几个数字儿当做分子,在分母上补充上对应的几个9就可以了,比方说这个0.1,如果1是循环的,咱就可以用1做分子,用1个9做分母,结果就是九分之一。不行咱就除一下试试,1除以9,商0,然后在1的后边儿补上0,变成了10,10-9等于1,然后呢,继续补上0,又变成了10除以9,所以后边儿就是0.1循环了。

同样,如果是0.12,12不断的循环呢,那么变成分数后,分子就是12,因为分子有两位,所以分母就是两个9,也就是12/99。那如果是0.423循环呢,当然就是423/999了。

那么,如果小数位不是全部循环的,只有部分循环怎么办,比方说,0.3245,后边儿的这个45是反复循环的,前边儿的32并不循环,这怎么办呢?也好办,只要把99的后边儿补上几位0就可以了,比方这个0.3245,前两位不循环,后两位循环,那么分子仍然是3245,分母就是9900。几个循环数字就几个9,几个不循环数字就是几个0。

哎,那你说,这不对吧,世界上有那么多分数,怎么可能分母都是带9的呢,那些不带9的怎么办呢?比方说三分之一?哎,你忘了,三分之一可以变成9分之三呀。换句话说9分之3也能约分成三分之一。其他的分数,也全部都能化成分母是几个9的分数,比方说1/7吧,它怎么变成几个9呀,哎,它能变成142857/999999,那你说,神了呀,为什么所有分数都能化成几个9几个0的这种形式呢?这个问题呀,稍微复杂一点儿,在这里,咱们不给出代数证明,只给出一个解释性的说明。首先,任何一个分数都可以拆成两部分的成绩,也就是几分之一乘以几得到的,对不对,然后关键在于,这个几分之一呀,它一定是一个循环小数,当一个数被1除的时候,其实1后边儿是要反复的补充0的,那么随着这个除法的进行呢,它又会一点儿一点儿的往下减,那么什么时候,这个分数就开始循环了呢?等减的余数剩下1的时候,你想呀,这个剩下的余数1,肯定后边儿还是要补充0的呀,所以它可不就循环了呗,而咱们别忘了,刚才咱们是在1后边儿补充了很多狠多的0,所以刚才咱们得到的循环节乘以这个除数,得到的一定很多个9的组合。

那么,这里边儿就会有一个问题了,0.9循环等于几,按照这个规律,0.9循环,应该等于9分之9,等于1才对,但是,我们怎么看,怎么都觉得他肯定比1小。可是如果我们看看这个循环小数的规律,又觉得它一定是等于1的,为什么呢?很简单呀,0.1循环等于1/9,0.2循环等于2/9,0.3循环等于3/9一直到九分之八,这个规律都一点儿没错儿,那凭什么到了0.9循环就不一样了呢?其实呀,0.9循环,确实是等于1的。这个证明方法呀,很多很多,但是无论怎么证明,咱们大多数人呐,就是过不了心里的那道坎儿,总觉得1减去0.9循环,应该等于0.0循环,而后后边儿还有个1才对。实际上,世界上根本没这么一个数儿,0.9循环的的确确就是等于1的,你要实在不理解呀,我就给你打个比方,我们知道1用分数来表示,可以使百分之百。话说这个人哪,没有100%完美的,但是呢,你只要朝着100%的方向,不断努力,哎,你就是100%的完美了。

好的,本期节目中,我们介绍了初中数学的数系,关于小数和分数的转换方法呀,并不在初中数学的教学范围内,所以呀,也不要求大家掌握,只要有一个基本的了解就可以了,好的,本期节目就是这样,我们下期再见。

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