数学教育的目标和意义（数学教育意义探求之数学的本质）

一、数学教育的意义探求

作为一个独立知识体系的数学起源于古希腊。数学发展的全部历史，大致可以划分为四个时期：

从远古时期到公元前六世纪、五世纪，是积累事实材料的数学产生时期；

接着是初等数学时期(或常量数学时期)，这个时期的开端是著名的欧几里德《几何原本》，把几何建立成独立的的科学，这个时期一直延续到十七世纪；

无穷小分析的创立决定了新的、第三个时期——古典高等数学(或古典分析学)时期的开始；

最后，十九世纪前半叶由罗马切夫斯基和鲍耶创立非欧几里德几何体系是第四个时期——现代数学时期的开端。每一个新时期的开端，都以决定数学向本质上崭新的状态过渡到杰出的科学成就作为标志。

(一)数学本质的认识

美国数学家柯朗和罗宾斯合作于1941年出版了一本书，名字叫<什么是数学》。虽然这本书并没有就数学的概念和含义进行探讨，而是作为大学生、研究生和对科学真正有兴趣的专业人员提供的一本非常规的基础数学教材，但他就数学提出的一些问题对于数学教育的发展却是振聋发聩的。他说：“数学教学有时竟演变成空洞的解题训练。这种训练可以提高形式推导的能力，但却不能导致真正的理解与深入的独立思考。他认为一直以来，大家都认为每一个受教育者都必须具备一定的数学知识。但直到现在，数学教学的解题训练使数学教育陷入了危机之中，而对于这种危机，数学工作者是要负责任的。

“教师、学生和一般受过教育的人都要求数学家有一个建设性的改造，而不是听其自然，其目的是要真正理解数学是一个有机的整体，是科学思考与行动的基础”。

他对数学教育和数学的发展甚感焦虑，“数学研究已出现了一种过分专业化和过于强调抽象的趋势，忽视了数学的应用以及与其他领域的联系”，他提出的解决办法是“那些醒悟到培养思维重要性的人，要更加重视和加强数学教学。"

那么什么是数学?有人说：“数学是一个知识体系，一种实际工具，哲学的一块基石，完善的逻辑方法，理解自然的钥匙，真实的自然，一种智力游戏，理性的冒险，美感的经验。”《中国大百科全书·数学卷》认为：“数学是研究现实中数量关系和空间形式的，简单地说，是研究数和形的科学。”思格斯对数学的对象所下的经典性的定义是众所周知的，恩格斯说：“纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系，所以是非常现实的材料。”恩格斯给数学下定义是在他的名著《反杜林论》中给出的，但“这本著作出版以来，经过了大约一百年时间。在这一个世纪里，数学有了蓬勃的发展，基本的概念和方法发生了根本变化，这一个世纪是现代数学形成时期。恩格斯写<反杜林论》的时期(1876---1877)，非欧几何和多维空间几何在数学家中刚刚被承认，群论刚刚形成，集合论刚刚产生，而数理逻辑才诞生，对现代数学的发展起重要作用的电子计算机，在二十世纪四十年代才出出，完全可以理解，恩格斯不可能估计到数学发展新时期的特点。"回逻辑之父亚里士多德曾说：“数学是计量的科学。一后来法国哲学家孔德说成“数学是间接计量的科学"。而在这之前笛卡将数学说成是解释所有我们能够知道的顺序和度量的一门普遍科学。由于数学的性质及其应用途径不断发生变化，新的数学领域不断涌现，数学的应用范围的不断扩充，加之随着知识的发展，都要求发展新的数学，因而人们对“什么是数学"的认识发生了很多变化。有的学者认为“数学是理性思维的科学，数学是通用的科学语言，数学是推理的艺术，数学是猜测的学问，数学是解释，数学是比喻，数学是文化等等，都从某一侧面谈到了对数学本质的理解。

有的学者从传统认识到现代隐喻两方面对数学进行了晃定，他认为“在传统认识上，

第一，数学存在于理念世界，数学对象包括数和由数组成的算式，这都是柏拉图理念世界的真实存在；

第二，数学对象是抽象的存在，数学对象是存在于可感事物中的不可感之物；

第三，数学是综合判断，数学是独立于感觉经验而可知的，数学真不能由对概念分析来判定，数学是综合的；

第四，数学是一种约定，数学的公理、符号、对象、结论的正确性，无非是人们之间的一种约定；

第五，数学就是逻辑，罗素和怀特海合著的《数学原理》的主要目的是说明整个纯粹数学是从纯乎是逻辑的前提推出来的；

第六，数学是直觉构造，数学的对象，必须能像自然数学那样明示地以有限步骤构造出来，才可以认为是存在的；

第七，数学是形式符号，形式主义认为，数学都有其公理系统。

在现代隐喻上，数学是一种文化；数学是一种艺术；数学是一种语言：数学是一种方法：数学是一种思维；数学是一种创造。

一霉数学家和数学哲学家为数学作了各自认为满意的定义，但这些定义之间并非都是等同的，它们都只能是近似地反映出数学这门科学当时所处的状态和某些侧面的性质和特点，其中任何一个都不能作为数学的准确的永恒的定义。

数学是什么?

数学是钥匙，是打开科学之门的钥匙：

是语言，是一门世界性科学语言；

是艺术，它具有艺术的形式美；

是工具，是征服科学的工具；

是方法，是解决各种实际问题的有效方法：

是体育，是思维锻炼的体操；

是文化，是促进民族兴衰的文化。

但这些都不能作为数学的定义，因为上述任何一条都不是数学独有的特征。许多人赞成用“量”来定义数学回，这种定义表现了数学的来源，但量又是什么，它是哲学上难以界定的基本范畴之一，并无确定的内涵，随着时间的推移和人们认识的扩展，量的内涵越来越普遍，人们也就无从把握住量的全部内涵，从而用量去定义数学也就变得含糊其辞了。

19世纪末20世纪初，人们曾为了寻求数学的最终的真理性和可靠性进行了认真的研究和争辩，但都未得出什么明确结果。因此要想给数学一个精确的定义，是十分困难的。对于“什么是数学"这一问题不存在任何最终的、绝对的回答；恰恰相反，对此我们应当采取发展的观点。正如怀尔德所说：“试图给数学下定义所遇到的困难看来主要来自这样的假设，即认为数学就其本质而言是绝对的、不随时间和地点而改变的事物⋯⋯既然数学不是上述事物，任何刻画它的企图肯定只能失败。"数学有着明显的时代特征，它徘徊在现实与非现实之间，它的意义不存在于形式的抽象中，也不存在于具体的实物中。什么是数学?它是独特而唯一的。

(二)数学教育的特征

对任何科学知识的认识与传承，都需要对其内涵和外延进行深刻的理解。尽管不同的人对数学有不同的认识，但不可否认，数学，作为独立于经验的人类思想的产物，有其自己独有的特征，因而对于数学的教育来说也具有几下几个明显特征。

1．抽象性

数学是抽象性极强的科学，数学的对象都是抽象思维的产物。

数本身就是一个抽象概念，几何中的直线也是一个抽象概念，全部数学的概念都具有这一特征。例如，从5只鸟、5本书、5棵树这类具体事物中抽象出“5"这个数字概念；欧拉把哥尼斯堡的“七桥问题，，抽象成“一笔画”问题。要把这种抽象的数学知识让学生理解，数学教育必须借助于数学符号、数学图形来完成，因而数学教育的抽象性这时就体现在数学文字语言、数学图形语言、数学符号语言与数学知识之间的一种转化。另外，由于数学抽象出来的本质属性或特征就存在于同类事物之中，只保留量的关系和空间形式而舍弃其他一切；数学抽象是一级一级逐步提高的，它所达到抽象程度大大超过了其他学科的一般抽象。表现出以下四种类型：“经过这样抽象获得数学对象，在概念外延上更宽广一些，但在内涵(或结构上)就贫乏软弱一些，称为弱抽象；它的产物不是从同类事物的众多属性或特征中抽取出来，而是通过把新特征引入原有数学结构加以强化而形成的，称为强抽象；一些不能由现实原型直接抽取的，完全理想化的数学对象抽象类型的产物，称为构象化抽象；第四种抽象也具有完全理想化的色彩，不过其产物不是某种新的数学概念，而是对新的公理(或基本法则)的完全理想化的构想，称为公理化抽象。"回而“数学教育的任务是形成和发展那些具有数学思维(或数学家思维)特点的智力活动结构，并且促进数学中的发现。”我们可以看到，自然科学家为了证明自己的诊断常常求助于实验，而数学家常常借助于的是思考、推理与计算，这就是说，不仅数学的概念是抽象的，而且数学的方法也是抽象的，在数学教育中应注意这个抽象意识的培养。

2．简约性

数学语言和数学符号是数学简约性的重要表现形式，也是数学抽象物的表现形式。“数学不仅是事实和方法的总和，而且是(也许甚至首先是)用来描述各门科学和实际活动领域的事实和方法的语言。一回有人认为，学过数学的多寡的人很容易加以辨认，数学能力较强的人“简洁地描写复杂现象的能力”“通过数学教学，使学生的思维有序化，有条不紊。"①数学往往避重就轻，以简取胜。千言万语说不清，用数学语言可以一言以蔽之。数学史上有这样一则故事：“当年匈牙利知名数学家厄尔多斯要测试聪明小孩波萨(Posa)的才华，即兴命题：‘在1至2000这两千个自然数中，任取一千零一个数，那么一定有两个互素。’小孩用分类方法做出满分的答卷。后人在复述这个故事时，常归结为：证两相继自然数互素。

怎样证两相继自然数n，n l(n>1)互素?与其用颇费口舌的反证法，不如用我国三世纪时刘徽<九章·方田》注的更相减损术。只需做一次减法：n l—n=1，于是(n，n 1)--1，命题已证。

难道还有比这更简练的说法吗?"如果不通过数学教育活动，到哪里能找到如此简结的问题解决方法。

3．形式化，

数学形式化是用形式符号体系表现的，形式化要使用彻底的形式语言，把数学思维过程中所有能够表述出来的东西，包括逻辑联系词、推理符号、公理、定理等，完全用符号表示。数学教育关注学生在研究复杂问题时，能抓住问题的关键所在，构造出形式化的数学模型。哲学家培根曾说：数学是科学的大门钥匙，忽视数学必将伤害所有的知识，因为忽视数学的人是无法了解任何其他科学乃至世界上任何其他事物的。但在现实生活中表现的往往更为严重，因为忽视数学的人甚至不知道是一种疏忽，也不能理解为什么疏忽将最终导致无法寻求任何补救的措施。在17世纪，布莱泽·帕斯卡尔曾为人类之无助感到悲哀。然而现在，数学给予了我们关于世界巨大领域知识的控制权，从日心说到量子理论，从哈雷慧星到电磁波的发现，从天文知识到物理世界，从地质勘探到文学艺术，无一不闪现出数学的身影。“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，数学无处不在刀(华罗庚语)。数学的形式化体现在一切科学的深处，成为解释和创造社会的得力助手与工具，缺少了数学就不能准确刻画出现实生活中客观事物的变化，更不能由已有的结论推导出其它结论，从而会阻碍社会的进步和科学的发展，现实一点说，会减少现实生活中对事物发展规律的科学预见的可能性和减弱科学预见的精确度。“数学是调节理念和实践、思想和经验之间差异的工具。它建起了一座连通双方的桥梁并在不断地加固它。事实上，全部现代文明中有关理性认识和征服自然的部分都有赖于数学!"

4．逻辑性

数学与逻辑的关系至少可以上溯到数学还是一门经验性科学的年代。以罗素和弗雷格为代表的逻辑主义数学观认为：数学就是逻辑。罗素和怀特海合著的<数学原理》的主要目的是说明整个纯粹数学是从纯乎逻辑的前提推出来的，并且只使用以逻辑术语说明的概念。“逻辑是数学的青年时代，数学即逻辑的壮年时代，青年与壮年没有截然的分界线，故数学与逻辑亦然。”数学与逻辑有以下共同的特点：

(1)数学思维与逻辑思维都具有极强的符号化和形式化特征，并且在现代数理逻辑中实现了高度的统一；

(2)数学的形式结构和逻辑的形式结构都是以人这个认识主体对于客体所加的作用和动作的最普遍的协调作用中抽象出来的；

(3)数学结构和逻辑结构都是具有一定相对独立性的客观的思想事物，它们的规律在科学的各分支领域都是普遍适用的。在罗素看来，从逻辑和数学共同接受的前提出发，不可能画出一条清晰的分界线，其左边是逻辑，右边是数学。因而在很长一段时间，谈到数学的教育就是逻辑的教育，我国最初的数学教育的三大能力，最为重要的就是培养学生的逻辑思维能力。

5．优美性

罗丹说：自然总有美存在。伽利略则宣称道：自然这本书是用数学语言写成的。哪里有数，哪里就有美。数学美的比例中最负盛名的是为开普勒称为欧氏几何学两颗明珠之一的黄金分割。

人体最优美的身段遵循着这个黄金分割比；令人心旷神怡的花凭借的也是这个美的密码，就连芭蕾舞艺术的魅力也离不开它。艺术家利用它塑造了令人赞叹的艺术珍品，科学家利用它创造了丰硕的科技成果。这个比例值因抬高了身价而被称神圣化为黄金数了，成了宇宙的美神。数学总是美的，数学是美的科学，数学教育就要把这种数学之美进行传递。在数学思维触角的每一次延伸中，引导学生体会她奇妙无穷的理性之美：在扑朔迷离的符形数谜中，让学生感受到智慧之美；在平移和旋转的变化中，感受到变换之美；在聆听精炼严谨却蕴意丰富的诉说中，感悟到简洁之美：在“整与分、和与差、偶与奇、曲与直”的平衡匹配中，在优美的抛物线的伸展之中，让学生感受稳定协调对称之美；在徜徉于数学的各个领域错综复杂的关系中，感觉到数学独立与联系的结构之美；在数与形你中有我、我中有你的演绎中，感叹统一之美。哈尔莫斯说过：数学是一种独具匠心的艺术。这种艺术正像辽阔的海洋，那大海深处蕴含着一个五彩缤纷的世界。当你畅游其中时，你会为这无垠海洋中数不尽的奇珍的美而陶醉。数学的美还不仅限于感官上的美，它的美还在于它内涵和谐有序。

(三)数学教育的意义

随着数学的深入发展，无论是数、结构、模式、关系、形状、推理，还是概率、统计分析、抽样，都是数学科学研究的对象，科学研究的结果形成了特定的认知体系。从数学的发展来讲，认为数学知识来源于经验，数学的理论知识不如直觉知识清楚和可靠，数学是处于从感性认识过渡到理性认识的一个阶梯，是一种理智认识，其倾向性是注重数学知识的来源和过程，被称为数学本质的经验倾向性说；有形式倾向性说，其倾向性是注重数学知识的形式逻辑和按演绎体系展开的特点，认为数学是演绎科学：有综合(调和)说，认为数学是一门演算科学、数学是一门拟经验科学，其目的是试图解释或调和由经验性说法和演绎性说法产生的矛盾，揭示数学“对立统一一的辩证关系；有先验论说法，认为全部算术和全部几何学都是天赋的。∞数学家、数学教育家和数学哲学家从数学内部(数学的内容、表现形式、研究过程)和数学外部(数学与社会的关系、数学学科与其它学科的关系、数学与人的发展的关系)等几个方面对数学的本质进行了研究，他们所得到的结论从某一侧面反映了数学的本质，为全面认识数学教育提供了一些视角。数学是--I"7探索、动态的、发展的科学，对数学的认识应随着数学的发展而发展。

徐艳斌教授认为，数学教育能“把握生活实践，认识数学文化，加强全球化视野，增进日常思维能力，培养社会责任心。由于社会的发展是连续的，有赖于人的不断创造和创新，因而数学教育的意义更多体现在思想、文化和创造上。

1．生成思想

数学教育的任务是让学生学习和掌握数学科学，其实质就是形成良好的数学思想方法。这些思想主要包括形式与内容、运动与静止、偶然与必然、现象与本质、原因与结果、精确与近似、整体与局部等基本与重大的思想，也包括分析与综合、归纳与演绎以及公理化、转化、函数与方程、概率与统计等一般的科学及数学特有的思想。凹集合理论的创始人康托尔(Cantor，Georg,1845--1918)曾说：数学的本质就在于它的自由。人类正是在这种自由思想的引领下，从数数开始逐渐建立纯粹数学到常数数学，再从常数数学到变量数学再到现代数学。

近代以来，数学又进入了人文科学领域，并在人文科学领域发挥了数学强大的优势，人文科学数学化成为一种强大的趋势。当代数学发展的主流是在科学的数学化的同时，也出现了数学的科学化。数学的主题仍然是认识字宙，也认识人类自己。普洛克努斯说“所以说数学就是这样一种东西：她提醒你有无形的灵魂，她赋予她所发现的真理以生命；她唤起心神，澄净智慧；她给我们的内心思想添辉；她涤尽我们有生以来的蒙昧与无知。

2．涵养文化

数学作为一种文化，其植根于人类丰富思想的沃土之中，是人类智慧的结晶。美国人类学家c·恩伯、M．恩伯认为：“文化指的是任何社会的全部生活方式"，人类特有的行为方式和方法就是人类的文化，当然这种行为方式和方法“包含了后天获得的，作为一个特定社会或民族所特有的一切行为、观念和态度。”自从人类产生以来，人类的行为和思维就伴随着数和形的活动，成为一种特有的智力活动。美国数学家怀尔德(R．L·Wilder,1898---1982)1981年从数学人类学的角度提出了“数学种文化体系”被认为自1931年以来出现的第一个成熟的数学哲学观。回给出了影响数学发展的力量主要有：环境的力量；遗传的力量；符号化；文化传播；抽象；一般化；一体化；多样化；文化阻滞；文化抵制；选择。“把数学看成是一个由于内在力量与外部力量共同作用而处于不断发展和进化之中的文化系统，数学活动就其性质来说是社会性的。数学教育的意义体现的就是一种文化涵养的意识。

3．孕育创造

数学代表了一种理性主义的探索精神。从古希腊几何到希尔伯特的《几何基础》，哥白尼、开普勒、伽利略和牛顿的成果使许多梦想的实现成为可能。数学关系是宇宙之钥，万物通过数学得以理解。数学家对平行公理的长时期的反思，其结果是非欧几何得以发现，这是一场巨大的暴风雨，其深远而巨大的后果导致了相对论的诞生。阿尔伯特·爱因斯坦在其<相对论杂谈》中说：“这里产生了一个困惑了古今科学家的谜。数学，作为独立于经验的人类思想的产物，怎么可能与物理实在中的客体符合得那么奇妙?通过纯粹思想人类理性无需经验就能发现实在事物的性质?"“观念的世界看来不能用逻辑的方法从经验中推导出来，而从某种意义上说是人类心智的创造，没有这种创造就没有科学。"数学作为人类悟性的自由创造物，鼓舞着人们从事理性的探索。“没有非欧几何，自然也就没有相对论，没有全部现代的物理学以及以之为基础的全部现代技术。那样也不会有全部关于数学基础的研究，不会有形式系统这样的思想，不会有哥德尔，同样也不会有计算机。更重要的是，没有人类理性思维的高度发展，人的精神状态会是什么样呢?总之，可以毫无疑问地说，没有现代数学就不会有现代文化。”换用鲍耶依·亚诺什的名言：数学从一无所有之中创立了一个新宇宙。

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