斐波那契数列小兔子（兔子数列斐波那契数列）

相信人们都对斐波那契数列有或多或少的了解，如果没有，那你一定听过黄金分割比或是见过下面这种图片：

斐波那契生活在十三世纪的意大利，原名列奥纳多·皮萨诺(Leonardo Pisano)，他出生在意大利那个后来因为伽里略做过自由落体实验而著名的斜塔所在的城市里。值得一提的是，除了常为人所道的斐波那契数列，他还有一项更伟大的数学成就——将阿拉伯数字和乘数的位值表示法系统引入了欧洲。所以，我们也许可以说他是生活在丢番图之后费尔马之前这2000年间欧洲最杰出的数学家了。

斐波那契数列源自斐波那契在《计算之书》第12章中提到的兔子繁殖问题：

如果每1对成兔每月生1对幼兔，幼兔经过2个月后成为成兔，即开始繁殖，试问年初的1对幼兔1年后能繁殖成多少对兔子?（假定不发生任何死亡）

记第ｎ月底的兔子对数为Ｆｎ，则：Ｆ1＝１，Ｆ2＝１，Ｆ3＝２，Ｆ4＝３，Ｆ5＝５，Ｆ6＝８，…观察数列｛Ｆｎ｝规律很容易发现，从第三项起，每一项都是它前两项的和，即Ｆn 2＝Ｆn 1＋Ｆn（ｎ∈Ｎ＊），这样我们得到一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，…这样很容易知道年底共有144对兔子．

将问题一般化后就是：第ｎ个月底时的兔子数就是斐波那契数列的第ｎ项．那么能否找到它的通项公式？

推导过程如下：

这个数列其中一个有趣的性质就是：一个数与其后一个数之比，越往后越接近于0.618．即，当n趋向于无穷大时，比值Ｆn/Ｆn 1趋向于（√5-1）/2，而这个无理数，正是黄金分割数0.618的来历。

自然界中存在许多相关案例，我们可以很容易地观察到诸如松塔、花菜、向日葵、以及许多花蕊都按照一定的螺旋排布，而它们顺时针和逆时针螺旋的条数恰是斐波那契数列中相邻的两项。

花瓣的数目：

树枝的分叉：

叶子的生长方式也是如此，对于许多植物来说，每片叶子从中轴附近生长出来，为了在生长的过程中一直都能最佳地利用空间（要考虑到叶子是一片一片逐渐地生长出来，而不是一下子同时出现的），每片叶子和前一片叶子之间的角度应该是222.5度，这个角度称为“黄金角度”，因为它和整个圆周360度之比是黄金分割数0.618033989......的倒数，而这种生长方式就决定了斐波那契螺旋的产生。

这似乎是植物生长或排列种子的“优化方式”，它能使所有种子具有差不多的大小却又疏密得当，不至于在圆心处挤了太多的种子而在圆周处却又稀稀拉拉。

0.618这个比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割。但是0.618这个比例是非常难以计算的，我们可以记下1.618这个数值，也就是我们常常在摄影中提到的“三分线构图”。

在平面设计中:斐波那契矩形或斐波那契数列中各个数字为半径的圆形相切而组成的复合图形。

斐波那契数列最常用的功能就是用来布局。设计师可以指定特定的单位宽度，例如90像素，然后分别乘以斐波那契数列中的斐波那契数，得到的就是各分栏的定宽。例如，在一个1170像素宽度的三栏式布局中，各栏宽度分别为180像素（90×2）、270像素（90×3）和720像素（90×8）。斐波那契数列除了可以用来指定分栏的列宽，也可以决定标题和正文字号的大小关系。如果根据数值大小将数列进行拆分，那么较大的斐波那契数（144，233，377，610，987）可以分配给各分栏的列宽及其它部分的长度，而较小的斐波那契数（8,13,21,34,55）可以用来设置文字的大小、行高与间隙。

纯文字图书中，正文字号用8号会略小，一般我们可以适当放大一些，改用9、14、23这样的字号，各级字号等于前两个级别之和；用来细分网格，比如将版面分为若干个小网格。按数列比例选择区块进行分割或组合。

仿生设计：前面提到了树枝的分叉遵循斐波那契数列，而在2011年8月份，美国一名13岁的小男孩Aidan Dwye在观察树枝分叉时“发现”它的分布模式类似斐波那契数列，这是大自然演化的一种结果，可能有助于树叶进行光合作用。于是他据此制作了一个小型的太阳能电池树，并在特定的高度和间隔安装上了太阳能电池。普通的太阳能电池一般是成排成列摆放的，实验结果显示，按照斐波那契数列摆放的太阳能电池树产生的电能要多出20%，且太阳能照射到它的时长要比普通阵列多出2.5个小时。

“音乐与数学的关系，即作为一个观念性的问题，又作为一个方法论的问题。在西方音乐历史上，是从毕达哥拉斯时代开始就一直被关注的一个对象。”许多作曲家在创作曲谱时也利用了斐波那契数列。在《新格罗夫音乐与音乐家辞典》的词条“Fibonacci series”中提到：“作品中自然出现的斐波那契数列始于 1843 年之前，但是在这种情况下，音乐学者必须在对作品的解释以及作曲家的自觉意图这两者之间做出清晰的区分”。如古拜杜丽娜的《打呃歌》。

斐波那契数列：“有我走天下？”

异调.植物如何优化器官的排列方式?——斐波那契螺旋[J].科学24小时,2004(05):24.

杨洪格.自然界的数学之美——斐波那契数列[J].中学生数学,2016(13):29-30.

https://blog.csdn.net/g1933375079/article/details/18773641

https://www.sohu.com/a/219555957_114819

http://www.odaad.com/share/eperience/2013-07-31/222.html

倪勇,张永志,李瑞琪.斐波那契数列在LOGO设计中的应用研究[J].设计艺术(山东工艺美术学院学报),2014(06):107-110.

孙重冰.斐波那契数列与平面设计[J].设计,2014(11):109-110.

https://zhuanlan.zhihu.com/p/34600277

https://www.guokr.com/article/60134/

刘舒婷. 索菲亚·古拜杜丽娜《打呃歌》、《开始时是节奏》中的数理逻辑—斐波那契数列[D].上海音乐学院,2019.