函数对称性与奇偶性规律（综合运用函数的奇偶性）

我们知道奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，在这个意义上，奇偶性可看作对称性的一种特殊情况。另外，通过与周期性的结合，会呈现出更多的对称性（包括对称轴和对称中心）。下面分析以下几种常见的类型。

一、双对称

如果f(x)的图象有两种对称方式，则一定是周期函数。我们有如下结论：

（1）若f(x)关于x=a对称，且关于x=b（a≠b）也对称，则f(x)是周期函数，周期为2|a-b|；

（2）若f(x)关于点（a，0）对称，且关于点（b，0）（a≠b）也对称，则f(x)为周期函数，周期为2|a-b|；

（3）若f(x)关于点（a，0）对称，且关于直线x=b（a≠b）对称，则f(x)为周期函数，周期为4|a-b|。

另外，对称性本身有如下结论，要牢记：

（1）若f(x)关于直线x=a对称，则有f(x)=f(2a-x)或f(x a)=f(a-x)成立；

（2）若f(x)关于点（a，0）对称，则有f(x)=-f(2a-x)或f(x a)=-f(a-x)成立。

解：(1) 解法1：f(x)的图象关于直线x=-1及直线x=2对称，故f(x)为周期函数且周期周期为6，则f(15)=f(15-6×2)=f(3)=10.

解法2：根据f(x)的图象关于直线x=-1及直线x=2对称，有f(-1 x)=f(-1-x),f(2 x)=f(2-x)，则f(x)=f(-2-x)=f(6 x)，故f(x)是周期为6的周期函数，f(15)=f(15-6×2)=f(3)=10.

(2) 解法1：f(x)的图象关于点（-1，0）与（2，0）对称，故f(x)是周期函数，且周期为6，则f(15)=f(15-6×2)=f(3)=10.

解法2：根据图象关于点（-1，0）与（2，0）对称，得到f(x)=-f(-2-x),f(x)=-f(4-x)，则f(-x)=-f(x-2)，f(-x)=-f(x 4)，即f(x-2)=f(x 4)，得f(x)周期为6，故f(15)=f(15-6×2)=f(3)=10.

(3) 解法1：f(x)的图象关于点（-1，0）及直线x=2对称，故f(x)是周期函数，且周期为12，则f(15)=f(3)=10.

解法2：函数y=f(x)（x∈R）的图象关于点（-1，0）及直线x=2对称，则f(x)=-f(-2-x), f(2 x)=f(2-x),则f(-x)=-f(x-2),f(-x)=f(4 x)，故f(x-2) f(x 4)=0,根据知识点1.2，f(x)是周期为12的周期函数，则f(15)=f(3)=10.

小结：函数关于两条直线对称，或关于两个x轴上的点对称，则周期是对称直线或对称中心横坐标之差的两倍；如果函数关于一条直线和一个x轴上的点对称，则周期是对称直线与对称中心横坐标之差的四倍。

另外，对称和周期的表达形式很接近，记忆时容易混淆。以下推论可帮助记忆：

例2. 设函数 f(x)对任意实数x满足f(2 x)=f(2-x)，f(7 x)=f(7-x)且f(x)=0，判断函数f(x)图象在区间[-30,30]上与x轴至少有多少个交点。

解：由题设知函数f(x)图象关于直线x=2和x=7对称，又由函数的性质得f(x)是以10为周期的函数。在一个周期区间[0,10)上，f(x)=0, f(4)=f(2 2)=f(2-2)=f(0)=0且f(x)不能恒为零，故f(x)图象与x轴至少有2个交点。而区间[-30,30]有6个周期，故在闭区间[-30,30]上f(x)图象与x轴至少有13个交点。

二、奇、偶函数的另一个对称轴（或对称中心）

如果定义在R上的函数是奇函数或偶函数，且有另一个对称轴或对称中心，则此类双对称函数一定是周期函数，且有如下规律：

解：(1) f(x)的图象关于直线x=0及直线x=2对称，可得f(x)为偶函数，且f(x)是周期函数，周期为2×2=4，则f(17)=f(17-4×3)=f(5)=26.

(2) f(x)的图象关于原点与（2，0）对称，可得f(x)为奇函数，且f(x)是周期函数，周期为2×2=4，则f(17)=f(17-4×3)=f(5)=26.

(3) f(x)的图象关于原点及直线x=1对称，可得f(x)是奇函数，且f(x)是周期函数，周期为4×1=4，则f(15)=f(15-4×3)=f(3)=-f(-3)=-f(5)=-26.

(4) 函数y=f(x)（x∈R）的图象关于直线x=0及点（1，0）对称，可得f(x)是偶函数，且f(x)是周期函数，周期为4，则f(15)=f(15-4×3)=f(3)=f(-3)=f(5)=26.

三、平移对称

(1) 若f(x a)为偶函数，则f(x)的图象关于直线x=a对称；

(2) 若f(x a)为奇函数，则f(x)的图象关于点（a，0）对称

例4. f(x)的定义域为R，若f(x＋1)与f(x－1)都是奇函数则( )

A. f(x)为偶函数 B. f(x)为奇函数 C. f(x)＝f(x＋2) D. f(x＋3)为奇函数

解:∵f(x 1)为奇函数，则有对称中心(1,0)；同理由f(x-1)为奇函数易知f(x)有对称中心(-1,0)。

则由双对称推论，f(x)是周期函数，且周期T＝2|1 1|＝4。

下面我们分析一下几个选项。

如果f(x)是偶函数，那么根据第二点的结论，周期为T＝4|1-0|＝4，满足条件。

如果f(x)是奇函数，那么根据第二点的结论，周期T＝2|1-0|＝2，则4也是f(x)的一个周期，满足条件；

因此，f(x)可能是奇函数，也可能是偶函数，A、B排除；如果f(x)是偶函数，则周期为4，那么C就不正确。

由于已经得到f(x)的周期为4，那么f(x 3)＝f(x-1)，是奇函数，因此D肯定正确。

小结：本题是一道高考题。其实得到D为正确答案比较容易，但排除A，B，C会麻烦一点。其实f(x a)为偶函数，相当于将f(x)的图象向左移动a个单位得到一个偶函数，因此x=a肯定是f(x)的一条对称轴；f(x a)为奇函数同理。