高等数学学习方法与技巧（主编推荐工科生该如何学好数学）

『运筹OR帷幄』原创

作者：王源

编者按

2020年7月9日我在知乎回答了”工科生除了学习课内的高等数学，还可以做什么提高自己的数学水平“的问题。没想到稀里糊涂就上了当天的知乎热搜，可见大家对这个问题还是蛮关注的啊。下面我就分享一下作为一个工科出身的背景下如何来提高自己数学能力的经验。

为何要学好数学？

首先声明一下数学系出身的同学请无视掉本文，本文的学习经验主要是适合工科生学习数学的“土”路子。

很多刚入学的博士新同学经常说“我数学基础薄弱，遇到一堆公式的文献就看得头疼，怎么能提高数学基础”。有这类困惑的同学一般都是本科出身工科的童鞋。我在博士刚入学的时候也面临同样的困惑，本科只学过微积分和线性代数。如果说仅仅做个码农的话，这点数学知识也足够对付了，但是如果是读博士做理论研究，尤其是运筹学和机器学习方向的博士就显得不够看了。

在实际做科研的过程中，工科的同学可能更多的是现学现用，需要什么再补什么知识，缺乏系统性学习的过程。如果仅仅是缺啥学啥，短期之内可能并没有什么问题，也完全有可能做出一些好的研究成果，但长远来看可能会后劲不足，在科研的道路上很难走远。这也是我们经常看到很多成名的大牛们或多或少都有较强的数学背景，这足以从侧面反映出了系统性的学习数学知识对长期产出高质量的科研成果是有着很大帮助的。

数学系本科主干课程归纳

运筹学中所应用到数学知识，可能在工科同学来看有点“高深莫测”，但实际上基本是没有超过数学系本科的范畴。所以要想系统性学习数学知识，只需基本掌握数学系本科的必修课内容就足够了。数学笼统的来划分有三个主要组成部分：分析，代数和几何。我这里把数学系本科干货课程按照上面所说的三个部分进行了一下归类：

分析：数学分析（微积分），实分析（实变函数），泛函分析，复分析

代数：高等代数（线性代数），抽象代数（群论，伽罗瓦理论）

几何：解析几何，拓扑学，微分几何（流型）

其它：概率论，随机过程，图论，常微分方程（ODE），偏微分方程（PDE），初等数论等等。

数学技能树

微积分（数学分析）和线性代数（高等代数）位居最重要最基础的位置。图中的箭头表示的意思是要想学习某一门课程需要的前置的课程。例如要学习实分析，需要的前置课程是微积分。例如学习概率论前置课程是微积分和线性代数。该图主要是参考了参考文献[1]中的内容，同时也加入了自己的一些理解（当让这个图其实画法也不唯一仅供参考）。每个人可以根据自己需要学习哪些数学知识，再结合图中的路线规划来做出自己的学习路线。

适合工科生的数学课程推荐

我在博士期间补数学知识的过程中发现直接拿数学系的优质教材和课程未必对工科生合适。主要是因为工科生的思维模式和数学系的思维模式存在着巨大的不同，而能弥补这中间巨大gap的人却很少。大多数数学系的老师对应用数学心存鄙视，同时他们平常也很少接触实际问题使得他们并不能满足工科生想要知道数学有什么用的需求，所以在讲课过程中容易以单纯去灌输完美的数学理论为导向。同时由于数学理论确实艰涩难懂，高门槛也使得大多数的工科老师被拒之门外，他们想了解数学但经常是被一堆公式就难倒了心有余而力不足。

由此我们发现想要做好工科生的数理基础教学必须是身兼二者才行，既具备良好的数理基础，同时也干过实际项目有着大量实践经验的人，即所谓上的了厅堂，下的了厨房。这样的人才目前还是比较少的。接下来我推荐一些我觉得适合的课程供大家参考，这些优质课程是我在长期的学习过程中总结出来的，还是比较工科童鞋的。

3.1 分析学

大连理工大学 力学系的郭旭老师主讲的泛函分析与变分法。这是当年对我影响最大的一门课，由于是针对力学系的，所以相比纯数学系的课程要友善太多。郭老师对工程实际问题有着很深的理解，因此在讲授数学课的过程中能够做到说人话。本课程虽名为泛函分析实际上的内容包括了数学分析，实分析和泛函分析。这门课的课时较短不可能覆盖所有内容，在涉及具体的推导证明过程也以讲授思路为主，但作为第一门起手课程有了这个课程的基础后边就容易进一步深入了，对工科童鞋来说有微积分和线性代数就完全能听懂，这门课是一个非常好的过渡性跳板。

大连理工大学 力学中的泛函分析与变分原理

https://www.bilibili.com/video/BV1Sx41187yJ?from=search&seid=4026602114354203388

复旦大学 数学系 陈纪修老师的数学分析。这门课说实话我没有亲自刷过，我只读过陈老师的数学分析书，觉得写得非常不错，网上对陈老师这门课评价也不错，故推荐之。

数学分析 复旦 陈纪修

https://www.bilibili.com/video/BV12s411h7v4?from=search&seid=12420733809290005843

参考书目：陈纪修等，数学分析，高等教育出版社[M], 2004.

上海交通大学 张祥老师的实变函数。当年我刷的第二门课程就是这门实变函数的课，在国内课程里边我觉得是非常良心的课程了，配套的教材也相对比较简练。有数学分析和第一门课的基础，这门课能理解个70-80%问题不是很大。

实变函数 上海交通大学 张祥

https://www.bilibili.com/video/BV1ut411P7RX?from=search&seid=1266004533449980646

参考书目：[1] 郭懋正，实变函数与泛函分析[M], 北京大学出版社, 2005.

实变函数 四川大学 陈闯。这门课是后来知乎上另外一个同学评论区提醒我的，我简单看了一下觉得这门课很不错。这门课的入门门槛相对比较低一些，适合完全没有任何实变函数基础的同学入手。相比上一个上海交大的课程来说，可以形成高低两个难度的搭配。

实变函数 四川大学 陈闯

https://www.bilibili.com/video/BV1ax411C7iR?from=search&seid=16587453751738773515

参考书目：陶哲轩，实分析[M]，人民邮电出版社，2008

内蒙古大学孙炯老师的泛函分析。越往上越难所能参考的课程资料也就越少，如果搜一下数学分析网上的课程还是比较多的，但是搜泛函分析的话就比较少了。这个课程是内蒙古大学的基地班的课程，课程的讲授还是非常用心的。想真正的学好泛函其实是需要你有着雄厚和广泛的数学基础，对分析学，代数，微分方程都非常熟悉之后，再学泛函这种高度抽象凝练的课程才能有所感受的。

泛函分析 内蒙古大学 孙炯等

https://www.bilibili.com/video/BV1fE411b7YY?from=search&seid=13551074145815244796

参考书目：[1] 孙炯, 王万义, 赫建文, 等. 泛函分析[M]. 高等教育出版社, 2010. [2] Sopka, John J. "Introductory functional analysis with applications (erwin kreyszig)."SIAM Review21.3 (1979): 412.

3.2 代数学

MIT的 Gilbert Strang老爷子的线性代数课程，这门课程的名气非常之大，估计不少同学都学过了，清华目前采用的就是Gilbert Strang老爷子的线性代数书作为课本。我个人是刷了2遍这个课程。对工科同学来说这门课程还是非常友好的。

Linear Algebra MIT Gilbert Strang

https://www.bilibili.com/video/BV1zx411g7gq?from=search&seid=13670711146483215033

参考书目：Strang G, Strang G, Strang G, et al. Introduction to linear algebra[M]. Wellesley, MA: Wellesley-Cambridge Press, 1993.

Gilbert Strang老爷子最近开的一门课程，主要是讲线性代数在各个领域的应用，当然课程前半部分也是会复习一下线性代数的内容，然后再展开具体的应用。另外课程也邀请了几位嘉宾作为对各个不同领域话题的补充。就课程内容并不深，但是给我们抛出了很多好的值得深入思考和研究的话题（老爷子相比第一个视频变老了很多啊）。

麻省理工MIT 线性代数在数据分析、信号处理、机器学习中的应用（中英）

https://www.bilibili.com/video/BV1s7411L7xd?from=search&seid=16313631556556854552

参考书目：Strang G. Linear algebra and learning from data[M]. Wellesley-Cambridge Press, 2019.

Maki完美数学教室的抽象代数，这门课我是在疫情期间刷的（在家闲着无聊只好补补数学了）。对于我目前的基础来说想掌握抽象代数还是有困难的，虽然跟了一遍课程理解了最多50%，尤其在后半部分基本上就理解不了多少了。不过值得推荐的是这位UP主做了非常多的数学课程，喜欢的话可以多刷刷他的课程一定受益匪浅。

抽象代数 Maki

https://www.bilibili.com/video/BV1C7411Z7xh?from=search&seid=9565130789173873784

参考书目：Michael Artin. Algebra 2ed

3.3 概率论，统计与随机过程

概率论和统计的课程我是找了很久要不然觉得太简单，要不就是太难太抽象跟不上。最后找了很久感觉概率论最合适的课程是MIT的概率论。

MIT 随机系统分析及应用概率 6.041

https://www.bilibili.com/video/BV1wt41147HB?from=search&seid=11016340191721362898

参考书目：Bertsekas D, Tsitsiklis J. 概率导论[J]. 2009.

统计学最合适的是台湾交通大学 唐丽英老师的课程，整个课程是由浅入深循序渐进展开。统计学（一）前半部分会复习一下概率论的知识，需要的可以看一下，不需要的话可以直接跳过到统计的部分。统计学实际上是非常实践的一门课，也是实际应用问题中有非常大的用处的课程，尤其现在机器学习非常火，从概率统计的角度去看待机器学习会给你更深的一个理解。

统计学（一） 台湾交通大学 唐丽英

https://ocw.nctu.edu.tw/course_detail.php?bgid=3&gid=0&nid=277

参考书目：Newbold P, Carlson W L, Thorne B. Statistics for business and economics[M]. Upper Saddle River, NJ: Pearson Prentice Hall, 2007.

台湾交通大学陈伯宁老师的随机过程，说实话我没太学懂这门课，因为目前其实我的研究内容很少用到随机过程，所以学习的动机并不是很强。我只记得陈老师的一句话“随机变量既不随机也不是一个变量”。

随机过程 台湾交通大学 陈伯宁

https://ocw.nctu.edu.tw/course_detail.php?bgid=8&gid=0&nid=558&page=2

参考书目：Athanasios Papoulis & S. Unnikrishna Pillai, Probability, Random Variables and Stochastic Processes. Fourth edition, Mc Graw Hill, 2002.

3.4 图论

哈工大姜老师的图论，我个人觉得图论这样的课程应该给予更大的重视，其实图论的内容一方面非常理论非常困难，很多图论的猜想都很难证明，另外一方面图论这个课程是非常接地气的也非常实用的课。本课程每个视频内容不长，基本一个视频围绕一个主要的话题展开，老师也非常善于从实际生活中举例子去说明理论，授课过程中运用了大量的类比比喻的方式促进学生理解，这些点我都get到了。从课堂上学生的反应来看，好像本科生还是没能理解老师的良苦用心，哈哈。

集合论与图论 哈工大 姜守旭

https://www.bilibili.com/video/BV1Qt41187GN?from=search&seid=1584405488842539640

3.5 微分方程

台湾交通大学数学系李荣耀老师的微分方程。微分方程课程需要大量的画图来帮助理解，这位老师全程手写板书来证明和推导，八面黑板都不够用的，足见其深厚的功底。说实话整个上课的过程我是被深深地折服的，这么有能力又能全心投入教学的老师真是令人既敬且佩啊。

微分方程其实大量存在于现实物理系统中，我们常见的机器人运动控制，优化算法搜索过程，大脑神经元的机理，无人驾驶汽车速度和位置，生态系统中物种数量的变化，疾病传播与扩散的描述（现在很多预测新冠肺炎的患病人数的模型都是基于微分方程）等等都可以被建模微分方程。对于控制理论的同学来说，主要的研究对象说白了就是微分方程，自然学习好这门课程对于控制系的童鞋来说绝对会受益匪浅。

微分方程 台湾交通大学 李荣耀

https://ocw.nctu.edu.tw/course_detail-v.php?bgid=1&gid=1&nid=500

参考书目：Differential Equations by P. Blanchard, R. L. Devaney, G. R. Hall, 4th edition Publisher: Cengage Learning

3.6 其它

如果你觉得没有时间把这么多数学课一个一个刷下来的话，那么最后再推荐一本书来速成，程代展，赵寅. 系统与控制中的近代数学基础[M]. 清华大学出版社, 2007. 这本书基本上把常用到的数学工具每个一章简单介绍了下，作为提纲来看还是不错的。

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