初中数学动点和最值（如何解决几何极值问题）

几何问题在国联考的行测考试中出题频率较高，2020年辽宁省考10道题中考查了3道几何问题，因此学好几何问题是十分必要的。今天我们就来探讨一下几何问题中如何求极值。

一、题型特征：

几何极值问题一般在设问中都有“最大”、“最小”字样。平面图形一般讨论周长和面积的关系，立体图形往往讨论表面积和体积的关系。

二、解题方法：

一般此类题型可以通过均值不等式或几何极值性质来解题。

均值不等式可表示为：

，当a=b时成立。

几何的极值性质可归纳为：

1.周长相等的平面图形，越接近圆，面积越大。2.面积相等的平面图形，越接近圆，周长越小。3.表面积相等的立体图形，越接近球，体积越大。4.体积相等的立体图形，越接近球，表面积越小。

对于几何的极值性质大家可以分成平面和立体两个方面记忆，尽量发挥想象力理解记忆，避免记错记混。

三、题型考法：

1.利用几何极值性质求解最大面积或体积。

【例1】用18厘米长的警戒线围成各种长方形，要求长和宽的长度都是厘米数，则围成的长方形的面积最大是多少？

A. 18平方厘米

B. 20平方厘米

C. 25平方厘米

D. 40平方厘米

【思路点拨】由题意知周长一定，要使长方形的面积尽可能大，则要使形状更加接近圆，也就是让长方形更加接近正方形。长＋宽＝9厘米，则要求长和宽尽量接近，可使长＝5厘米，宽＝4厘米，此时面积最大，最大面积为4×5＝20（平方厘米）。因此，选择B选项。

【例2】设a、b、c、d分别代表四棱台、圆柱、正方体和球体，已知这四个几何体的表面积相同，则体积最小与体积最大的几何体分别是：

A. d和a

B. c和d

C. a和d

D. d和b

【思路点拨】根据几何最值理论。表面积一定的立体图形，越接近球体，体积越大。立体越对称，越接近球体，则四棱台、圆柱、正方体和球体中，体积最小的是四棱台，体积最大的是球体。因此，选择C选项。

2.利用均值不等式最大面积：

【例3】要建造一个新的矩形鸡圈，如图所示，该鸡圈一面靠围墙，另外三面共使用了200米长的铁丝网，问如果想让鸡圈的面积最大，鸡圈的长和宽比值应为多少?

A. 1∶1

B. 2∶1

C. 3∶2

D. 7∶3

【思路点拨】本题并不能应用几何的极值性质进行解题，因为长方形的周长并不是固定的，需要利用均值不等式解题。设长为x米，宽为y米，则x＋2y＝200。长方形的面积为xy，根据均值不等式定理，当且仅当x＝2y时

，

取得最大值，此时长方形的面积最大。当x＝2y时，鸡圈的长和宽的比值为2︰1。因此，选择B选项。

四、题型小结：

几何的极值性质其实是均值不等式的简化版，只要多加练习就一定能够熟练掌握。