中考数学圆相切试题（含内切圆的折叠问题怎么求）

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与圆相关的折叠问题是数学中考的一类难点题型，本文就例题详细解析这类题型的解题思路，希望能给初三学生的数学学习带来帮助。

如图，AC是矩形ABCD的对角线，⊙O是△ABC的内切圆，现将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，使点D与点O重合，折痕为FG，点F，G分别在AD，BC上，连接OG，DG，若OG⊥DG，且⊙O的半径为1，求对角线AC的长度。

解题过程：

设圆O与BC、AB边分别相切于点E、M，连接OE、OM

根据题目中的条件：OG⊥DG，则∠OGD=90°；

根据结论：∠OGD=90°，∠OGD ∠EGO ∠CGD=180°，且∠EGO ∠CGD=90°；

根据矩形的性质和题目中的条件：四边形ABCD为矩形，则∠B=∠BCD=90°，AB=CD；

根据切线的性质和结论：圆O与BC、AB边分别相切于点E、M，则OD⊥BC，OM⊥AB，即∠OEG=∠OMB=90°；

根据结论：∠BCD=90°，则∠GDC ∠CGD=90°；

根据结论：∠EGO ∠CGD=90°，∠GDC ∠CGD=90°，则∠EGO=∠GDC；

根据折叠的性质和题目中的条件：矩形ABCD折叠后，点D与点O重合，则OG=DG；

根据全等三角形的判定和结论：∠OEG=∠BCD=90°，∠EGO=∠GDC，OG=DG，则△EGO≌△CDG；

根据全等三角形的性质和结论：△EGO≌△CDG，则OE=CG，EG=CD；

根据题目中的条件和结论：OE=1，OE=CG，则CG=1；

根据矩形的判定和结论：∠B=∠OEG=∠OMB=90°，则四边形OMBE为矩形；

根据正方形的判定和结论：OM=OE，四边形OMBE为矩形，则四边形OMBE为正方形；

根据正方形的性质和结论：四边形OMBE为正方形，OE=1，则BE=OE=1；

根据结论：EG=CD，AB=CD，则AB=EG=CD；

设AB=x

根据结论：BE=1，EG=AB=x，CG=1，则BC=EB EG CG=2 x；

根据直角三角形内切圆的性质和结论：OE=1，AB=x，BC=2 x，AB BC=AC 2OE，则AC=2x；

根据勾股定理和结论：∠B=90°，AB=x，AC=2x，AB^2 BC^2=AC^2，则BC=√3x；

根据结论：BC=√3x，BC=2 x，则x=1 √3；

根据结论：AC=2x，x=1 √3，则AC=2 2√3。

解决本题的关键是合理添加辅助线构造出一组全等三角形，根据全等性质得对应边的等量关系，再根据直角三角形内切圆的性质得到三条边长与内切圆半径之间的数量关系，根据勾股定理列方程就可以求解得到题目需要的值。