微积分基本公式知识点（微积分中几个重要公式的简易推导）

微积分中几个重要公式的简易推导（彭彤彬），我来为大家科普一下关于微积分基本公式知识点?下面希望有你要的答案，我们一起来看看吧!

微积分基本公式知识点

微积分中几个重要公式的简易推导（彭彤彬）

在数学分析或微积分里面，有重要常数e，π，有重要的求导，多项式展开式，这些式子是怎么推导出来的？本文基于极限，导数，积分定义及运算法则，一条龙从头至尾，将它们推导出来。

可以看出，推导过程比各微积分教材中要简捷深入得多，即不需要高深的理论基础，就可得出了微积分中的各重要公式。

写在此，供各位一赏。

由上知e的重要性，没有e的定义，第一个不是多项式的函数的导数就求不出来，从而后面的导数公式的推导就不能进行下去。

有了e的定义后，虽说暂时我们不知道e的精确值是多少，但我们可以推出自然对数，以e为底数的指数函数的导数，见上。

由此，结合指对数运算性质及复合函数求导法则，可得到任意指数函数与对数函数的求导公式。见下：

为进一步开展以后推导，我们先由三角形函数定义及有关知识，推导出一个重要的极限值：当自变量趋向于0时，正弦函数与其自变量比值的极限为1。

有了上述重要极限，我们用复数运算，求导，积分等其本定义和运算法则，就可推导出e的ix次方与cosx，sinx之间的关系式，从而得出几个重要常数0，1，i，e，π之间的著名关系式e的iπ次方与1的和为0。

具体过程见下：

有了上述关系式：

e＾（ix）＝cosx＋isinx，

我们就可用指数表示三角函数，从而利用前面推出的指数函数求导法则，可推导出三角形，函数的求导公式。

具体见下：

可以看出，三角形函数求导公式简单明了。

我们知道，多项式函数是包含最基本最简单运算的函数，这样的函数我们对其认识和把握是相当容易的。

我们就想，指数函数，对数函数，三角函数，它们能否表示成多项式的形式？若能，又有什么区别？

我们先考虑以e为底数的指数函数分解成多项式，是个什么情况，能得到什么结论。

见下：

可以看出，e的x次方，展开成多项式形式时，含有无数多项和。

由此，令x＝1，我们得出了e的精确值的表达式。

利用这个表达式，可以求出e的精确到任意位的近似值。

由这个式子可知，e不能表示为一个分数形式（若将后部带省略号的一部分去掉，就可以通分变成一个有理数，而这只是e的近似值），从而知它一定是一个无理数。

有了e＾x的多项式展开式，结合e＾x＝cosx＋isinx，马上就可以很容易推导出三角函数的多项式展开式。

见下：

推出了上述很多公式和结论，最后我们找一个圆周率π的精确值等式。

我们先求反正切函数导数，并将这个导数结果式展开成多项式形式，然后对其积分，就得到了反正切函数的一个多项式展开式，最后让x取一个特殊值，得到一个含有π的等式，变形就可以得到π了。

见下：

回顾以上推导内容，可以发现，对数函数的多项式展开式还没推导出来，要另行推导。有了导数公式，再运用待定系数法，这个推导是不难的。

具体见下：

至于反正弦，反余弦的多项式展开式，就不再详述。

至此止。