中考数学专题之线段和差最值问题（中考最值新趋势）

中考数学中的最值问题，通常考察线段之和的最小值。关于最小值的讨论已经很多，有许多模型和方法供大家使用，大家运用的也比较熟练。但是，2019年黄冈中考数学中出现了一道求一条线段最大值的填空题，难住了很多学生。许多学生没有见过此类题型，所以无从下手。今天，借此机会，和大家探讨一下，一条线段最大值问题的知识基础和解题方法。也许这是以后中考最值问题考查的新趋势。

一条线段的最大值，和若干线段之和的最小值，就是一个硬币的正反面，它们的理论依据都是两点之间，线段最短。

两点之间线段最短

1、若干线段之和的最小值。

定点A、B，动点C、D，求AC CD BD的最小值。当且仅当A，B，C，D共线时，AC CD BD的值最小，最小为AB。

2、一条线段的最大值。

动点A，B，C，D，线段AC，CD，DB定长，求AB的最大值。当且仅当A，B，C，D共线时，AB的值最大，最大为AC CD BD。

从上分析可以看出，求一条线段的最大值，关键是找出该线段两个端点间首尾相连的定长线段。

那么在图形中众多的线段中，如何去找这些定长线段呢？我做了一些总结：

1、直角三角形，斜边上的中线等于斜边的一半。

2、正方形中，一个顶点和一边中点的连线；或对角线交点与顶点（一边中点）的连线。

3、圆的半径或直径。

4、等边三角形的中线，或等腰三角形底边上的中线。

常见的定长

通常情况下，线段的最大值就是这些定长的组合。

1、正方和形直角三角形组合

如图，正方形ABCD，直角三角形AED，AB是定值，求EO的最大值；求EB的最大值。该题的解法就是作AD的中点，算出定长EF，FO，BF。EO最大=EF OF；BE最大=EF BF。

2、直角三角形和等边三角形组合

如图，等边三角形ABC，AB是定值，A在Y轴正半轴上运动，B在X轴正半轴上运动，求OC的最大值。该题解法，作AB的中点D，算出定长OD，CD。OC最大=OD CD。

3、圆和直角三角形

如图，圆O，半径是定值，直角三角形OAB，斜边AB是定值，C是BD的中点，求AC的最大值。该题解法，作OB的中点，算出AE，根据中位线性质，算出CE，AB最大=AE CE。

当然，有些时候，为了加大难度，定长和所求线段没有首尾相连，或虽然首尾相连，但不可能共线，这就需要我们通过某种方式进行转换，把定长和所求线段首尾相连。通常情况下，有两种情况，一种是把所求线段进行转换，使之与定长线段首尾相连；另一路是把定长线段进行转换，使之与所求线段首尾相连。

1、转换所求线段，使之与定长线段首尾相连。

如图，三角形ABC中，AB，AC是定值，三角形BCD是等边三角形，求AD的最大值。两个定长线段AB和AC，与所求线段不首尾相连，所以通过绕D点旋转三角形ACD60度，可得AC=EB，三角形ADE是等边三角形，AE=AD。AE最大=AB BE=AB AC。

2、转换定长线段，构造可共线的首尾相连定长线段。

2019年黄冈中考数学试题第16题就是这样。

AC、AB、BD定长，M是AB中点，角CMD是120度，求CD的最大值。

难度在于，虽然CA，AB，BD，首尾相连，但这三条线段不可能共线。所以做A点关于CM的对称点A'，B点关于DE的对称点B’，AC=AC'，BD=B'D，而根据M是AB中点，角CMD是120度，可得出三角形A'B'M是等边三角形，A'B'=AM，这样，就构造出可能共线的三条首尾相连的定长线段。CD最大=CA' A'B' B'D。

关于一条线段的最大值问题，就介绍到这里，因准备不足，可能还有很多其它情况，敬请谅解。喜欢的朋友，请关注我，有需要学习资料的，私信我，免费赠送。