余数三大定理例题（1-6年余数知识点讲解）

前几天有个家长问我余数问题该如何解答，黄老师本讲就来讲讲常见的余数问题的解法。

例一：有一个不等于1的整数，它除300，262，205得到的余数相同，这个整数是多少？

分析（分析不要求掌握，只要求记住最后结论）：

我们设这个不等于1的整数为m，它除300，262，205得到的商分别为a,b,c，余数相同，均设为n，根据题意列出式子如下：

300÷m=a……n

262÷m=b……n

205÷m=c……n

好，根据除法的定义：被除数=除数×商 余数，得到：

300=a×m n ……1式

262=b×m n ……2式

205=c×m n ……3式

我们利用二元一次方程组的知识，

1式-2式（左边减左边，右边减右边），得到：

300-262=a×m n-(b×m n)，化简得到：

38=(a-b)×m

同理，2式-3式，1式-3式分别得到：

57=(b-c)×m；95=(a-c)×m。

例二：如果某数除492，2241，3195都余15，那么这个数是几？

分析：此题有2种解法。

解法一：参照例一，三个被除数两两相减，得到三个差分别是954、1749和2703，那么，求这三个数的公因数，如下：

好，此题做到这里，我们发现，我们一下子很难找出318、583和901的公因数，那么，此题答案是不是3呢？

很明显，答案不是3，因为题目中给出余数是15，商是不可能大于余数的。

所以，318、583和901三个数肯定还有其他公因数。

那这个（或几个）公因数该如何找？

彩蛋来了

我们知道：几个数如果他们有公因数，这个公因数一定是其中一个数的因数。

所以，我们在这几个数中找一个较简单（一眼能看出有因数的）的数，把这个数分解质因数，然后用分解出来的质因数一个一个试，看是否为公因数。

我们试一下318、583和901这三个数的公因数：

这三个数较简单的是318，至少可以看出2是他的因数，所以我们选择318这个数：

318先分解2，再分解3，得到53，53较易判断，其是质数，所以：

318=2×3×53；

好，那我们下一步将2、3、53这三个因数分别试一下看看是不是318、583和901的公因数：

2：肯定不行，不能被583整除；

3：也不行，不能被901整除（9 0 1=10，不能整除3）；

318、583和901这三个数还有公因数（除1以外），那么一定是53！

相信说了这么多，聪明你一定懂了.

因为题目中没有要求这个整数最大或最小，所以答案应该是两个，即53和159（3×53）。

解法二：

先把余数减掉，因为这个数除492，2241，3195都余15，所以把余数15减掉就可以整除这个数，然后再参照例一解法。

减掉余数再两两相减得到的三个数分别是：477、2226和3180，一眼看不出公因数，选择较为简单的数3180来试：

发现：2不能被477整除，5不能被477整除，所以只有3和53可以。

下略。

例三：求2003×59除以7的余数？

此类题也较为常见，但多见于平时训练，因为学生用常规方法同样可以解出。

常规解法：

2003×59=118177，118177÷7=16882……3

简便解法：

2003÷7=286……1；

59÷7=8……3；

1×3=3；

3÷7=0……3

所以答案是3.

简便解法说明：先计算每个乘数除以7的余数，然后再将余数相乘再除以7。

习题：

1

2.自然数16520，14903，14177除以m的余数相同，m的最大值是多少？

3.求11 22 33 44 55 66 77 88 99的结果除以3的余数。

4.1991和1769除以某一个自然数n，余数分别为2和1，n的最小值是？

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