倍数和因数题解题技巧（这道数学题看起来在考因数分解）

先看题

一个自然数N共有9个约数，而N－1恰有8个约数。满足条件的自然数中，最小的是多少？

课堂上讲约数倍数，也就是讲到质因数分解。所以，看到这样不熟悉的题目，是不是有点厌恶？

我们先从约数好玩的地方讲起。

我们知道，约数总是一对对的。比如6等于2×3，还可以等于1×6，所以6的约数有1、2、3、6，1和6是一对，2和3是一对。

既然约数总是成对出现，那么怎么会有9个约数呢，那个单身狗是谁？

只有一种情况，如果一个约数乘以它本身，比如2×2，那么它就不再需要别人了（听起来好惨）。所以，完全平方数的约数有奇数个。比如4的约数有1、2、4，9的约数有1、3、9。

好吧，我们先解决了一个一般化的问题：什么样的数有奇数个约数，并且还举出了约数为3个的例子：

可这样，离解题还差的远呢。别着急，我们可以一步步来，先看看什么样的数有5个约数。

有5个约数的数肯定也是一个完全平方数，也可以写成这个样子：

这里，约数a一定不是一个质数，还可以再拆开。那么，a会不会也是个完全平方数呢？比如a=b×b，

那么自然数N就有从1到b的四次方的5个约数。像16的约数就有1、2、4、8、16。所以，四次方数的约数正好是5个（严格点说，是质数的四次方）。

有了这个例子，我们就可以依次写出7个约数的自然数：

和9个约数的自然数：

我们现在找到了有9个约数的数，这个数是一个八次方数。但是这个数是题目里要求的，最小的那个吗？

我们要检查一下前面的解题过程，确认中间没有差错。在找5个约数时，我们猜测a也是一个平方数。那么，如果a不是平方数呢？比如a=bc，

这样的数正好也有9个约数！最小的例子就是36。

下面的事情就简单了，只要按照题目的意思逐个测试就可以了。最小的那个符合条件的数是196（2平方×7平方），而195正好有8个约数。

在回顾总结整个题目的时候，如果对上图的左边部分稍微熟悉一点，会发现这道题居然是一道隐藏起来的组合问题。

如果自然数N有质因数a1到ai，每个质因数分别有n1到ni个，那么从中任取若干个质因数的组合数就是N的约数数。

这道题不需要很难的知识或者技巧，小学五年级可以做，成年人也可以做，不同年龄和知识背景会有不同的收获。如果有个半小时悠闲时间，用放松的心情推算，一定会有意思。

可惜，大多数小孩学这道题，是为了参加竞赛。要在7、8分钟里做完，还要保证正确率，最好的办法，只有刷题。再好的头脑，再灵活的思维，都不如记住“有9个约数的数是a的八次方或a平方乘b平方”拿分快。

所以，就像有首歌唱的，如果你爱你的小孩，让他去学数学，因为数学是天堂，如果你恨你的小孩，让他去学数学，因为数学是地狱。

更多数学学习的文章，请订阅微信公众号【怎样学数学】查看。微信搜索【howtolearnmath】或识别下方二维码，即可关注。

,