中考数学双动点函数图像压轴题（中考热点经）

从大的时事新闻，近期美股熔断，油价暴跌，给我们带来什么影响？可以说牵一发动全局，业内人士测算，油价每下行10美元，中国企业和居民将节省开支1070亿元。以疫情下最为紧缺的医用口罩为例，其核心上游原材料聚丙烯将直接受益于油价下降，带动口罩原材料生产成本的降低。中国正面临一定的通胀压力，以及海外疫情局势的不确定性的影响，国际原油价格下跌有利于中国释放内部压力，为恢复经济发展赢得时机。

从小的方面，我们数学学习，更过地方也涉及到牵一发动全局的状况。如近几年各地中考试题中，双曲线与几何图形的综合问题，已然成为中考的热点题型之一，解决这类问题的关键是抓住问题中的关键"点"（双曲线与图形的交点），利用这个"点"在几何图形中的位置，牵一发动全局的观点，并结合几何图形的性质即可顺利解题。下面举例说明此类问题的解法.

经典考题

1．（2019•蚌埠二模）如图，直线y＝﹣2x 2与x轴y轴分别相交于点A、B，四边形ABCD是正方形，曲线y＝k/x在第一象限经过点D．则k＝_____．

【分析】作DE⊥x轴，垂足为E，连OD．证出△BOA≌△AED，得到AE＝BO，AO＝DE，从而求出S△DOE，根据反比例函数k的几何意义，求出k的值．

【解答】：作DE⊥x轴，垂足为E，连OD．

∵∠DAE ∠BAO＝90°，∠OBA ∠BAO＝90°，∴∠DAE＝∠OBA，

又∵∠BOA＝∠AED，AB＝DA，∴△BOA≌△AED（HL），∴OA＝DE．

∵y＝﹣2x 2，可知B（0，2），A（1，0），∴OA＝DE＝1，

∴OE＝OA AE＝1 2＝3，

∴S△DOE＝1/2•OE•DE＝1/2×3×1＝3/2，

∴k＝3/2×2＝3．故答案为：3．

3．（2018•鄂州一模）如图，一次函数y＝ax b的图象与x轴，y轴交于A，B两点，与反比例函数y＝k/x的图象相交于C，D两点，分别过C，D两点作y轴，x轴的垂线，垂足为E，F，连接CF，DE．有下列五个结论：

①△CEF与△DEF的面积相等； ②△AOB∽△FOE；

③△DCE≌△CDF；④AC＝BD； ⑤tan∠BAO＝a

其中正确的结论是_______．（把你认为正确结论的序号都填上）

∴△CEF的面积＝△DEF的面积，故①正确；

②△CEF和△DEF以EF为底，则两三角形EF边上的高相等，

∴EF∥CD，∴FE∥AB，∴△AOB∽△FOE，故②正确；

③BD∥EF，DF∥BE，∴四边形BDFE是平行四边形，

∴BE＝DF，而只有当a＝1时，才有CE＝BE，

即CE不一定等于DF，故△DCE≌△CDF不一定成立；故③错误；

④∵BD∥EF，DF∥BE，

∴四边形BDFE是平行四边形，∴BD＝EF，

同理EF＝AC，∴AC＝BD，故④正确；

⑤由一次函数y＝ax b的图象与x轴，y轴交于A，B两点，

易得A（﹣b/a，0），B（0，b），则OA＝b/a，OB＝b，∴tan∠BAO＝OB/OA＝a，故⑤正确．

正确的有4个：①②④⑤．故答案为：①②④⑤．

4．（2020•龙泉驿区模拟）如图，一次函数y＝kx b（k≠0）与反比例函数y＝a/x（a≠0）的图象在第一象限交于A，B两点，A点的坐标为（m，6），B点的坐标为（2，3），连接OA，过B作BC⊥y轴，垂足为C．

（1）求一次函数和反比例函数的表达式；

（2）在射线CB上是否存在一点D，使得△AOD是直角三角形，求出所有可能的D点坐标．

【分析】（1）先利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而确定出点A的坐标，再用待定系数法求出一次函数解析式；

（2）分两种情形分别讨论求解即可解决问题．

【解答】：（1）∵点B（2，3）在反比例函数y＝a/x的图象上，

∴a＝3×2＝6，∴反比例函数的表达式为y＝6/x，

∵点A的纵坐标为6，

∵点A在反比例函数y＝6/x图象上，∴A（1，6），

∴2k b=3, k b=6，∴k=-3,b=9，

∴一次函数的表达式为y＝﹣3x 9；

（2）如图，①当∠OD₁A＝90°时，设BC与AO交于E，则E（1/2，3），

∴AE＝OE＝D1E＝√37/2，

∵E（1/2，3），∴D₁的坐标为（1/2 √37/2，3）；

②当∠OAD₂＝90°时，可得直线AD₂的解析式为：y＝﹣1/6x 27/6，

当y＝3时，x＝19，∴D₂的坐标为（19，3），

综上所述，当△AOD是直角三角形，D点坐标为（1/2 √37/2，3）或（19，3）

5．（2019秋•顺德区期末）已知一次函数y＝kx﹣（2k 1）的图象与x轴和y轴分别交于A、B两点，与反比例函数y＝﹣(1 k)/x的图象分别交于C、D两点．

（1）如图1，当k＝1，点P在线段AB上（不与点A、B重合）时，过点P作x轴和y轴的垂线，垂足为M、N．当矩形OMPN的面积为2时，求出点P的位置；

（2）如图2，当k＝1时，在x轴上是否存在点E，使得以A、B、E为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点E的坐标；若不存在，说明理由；

（3）若某个等腰三角形的一条边长为5，另两条边长恰好是两个函数图象的交点横坐标，求k的值．

【分析】本题是反比例函数综合题题，考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，矩形的性质，相似三角形的性质，等腰三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．

【解答】：（1）当k＝1，则一次函数解析式为：y＝x﹣3，反比例函数解析式为：y＝﹣2/x，

∵点P在线段AB上∴设点P（a，a﹣3），a＞0，a﹣3＜0，

∴PN＝a，PM＝3﹣a，

∵矩形OMPN的面积为2，∴a×（3﹣a）＝2，∴a＝1或2，

∴点P（1，﹣2）或（2，﹣1）

（2）∵一次函数y＝x﹣3与x轴和y轴分别交于A、B两点，

∴点A（3，0），点B（0，﹣3）

∴OA＝3＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝45°，AB＝3√2，

∵x﹣3＝﹣2/x,∴x＝1或2，

∴点C（1，﹣2），点D（2，﹣1）

6．（2019秋•临海市期末）如图1，直线y＝x与双曲线y＝3/x交于A，B两点，根据中心对称性可以得知OA＝OB．

（1）如图2，直线y＝2x 1与双曲线y＝3/x交于A，B两点，与坐标轴交点C，D两点，试证明：AC＝BD；

（2）如图3，直线y＝ax b与双曲线y＝k/x交于A，B两点，与坐标轴交点C，D两点，试问：AC＝BD还成立吗？

（3）如果直线y＝x 3与双曲线y＝k/x交于A，B两点，与坐标轴交点C，D两点，若DB DC≤5√2，求出k的取值范围．

【分析】本题考查反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，平行四边形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，属于中考压轴题．

【解答】：（1）如图1中，作AE⊥x轴于E，BF⊥y轴于F，连接EF，AF，BE．

∵AE∥y轴，∴S△AOE＝S△AEF＝3/2，

∵BF∥x轴，∴S△BEF＝S△OBF＝3/2，∴S△AEF＝S△BEF，∴AB∥EF，

∴四边形ACFE，四边形BDEF都是平行四边形，

∴AC＝EF，BD＝EF，∴AC＝BD．

（2）如图1中，如图1中，作AE⊥x轴于E，BF⊥y轴于F，连接EF，AF，BE．

∵AE∥y轴，∴S△AOE＝S△AEF＝k/2，

∵BF∥x轴，∴S△BEF＝S△OBF＝k/2，

∴S△AEF＝S△BEF，∴AB∥EF，

∴四边形ACFE，四边形BDEF都是平行四边形，

∴AC＝EF，BD＝EF，∴AC＝BD．

（3）如图2中，

∵直线y＝x 3与坐标轴交于C，D，∴C（0，3），D（3，0），

∴OC＝OD＝3，CD＝3√2，

∵CD BD≤5√2，∴BD≤2√2，

当BD＝2√2时，∵∠CDO＝45°，∴B（1，2），此时k＝2，

观察图象可知，当k≤2时，CD BD≤5√2.

总结反思

以坐标系为桥梁，运用数形结合思想。纵观最近几年的压轴题，绝大部分都是与坐标系有关的，其特点是通过建立点与数即坐标之间的对应关系，一方面可用代数方法研究几何图形的性质，另一方面又可借助几何直观，得到某些代数问题的解答。

图形与双曲线的综合题的重要组成部分是交点，这是惟一能沟通它们的要素，应用交点时应注意，交点既在图形上也在双曲线上，交点坐标既满足图形特征也满足双曲线的解析式．

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