一千道错题倒背如流（道歉几何难题一则是错题）

《几何难题一则》里面提的问题，确实是错的，这里向大家道歉，并对题目进行分析。

如图，D、E分别在△ABC的边BC、AB上，A、C、D、E四点共圆，∠ACD=2∠CAD，BD=AC，∠ABD=20°，，求证：∠ACE=90°。

其实，这个题目是一个错题，少了一个条件：AB>BC。否则可以构造反例。

首先，将错就错，对原来的错题进行分析：

设∠ACB=2x，那么，∠CAD=x，

经过计算，可以得到，tan∠ABC=(cos(x)-cos(5 x))/(sin(x) 2 sin(3 x)-sin(5 x))=tan（20°），

因为0<x<60°，解上面的方程，可以得到两个解：

x=3.584744335811739226743328924337992990878868113307893832897849704259511071836681453661145034319101006……度

或者

x=50°

明显第一个解是反例啊，图形如下：

但是如果加上AB>BC的话，就不存在这个反例了。

于是，问题修改为：

如图，AB>BC，D、E分别在△ABC的边BC、AB上，A、C、D、E四点共圆，∠ACD=2∠CAD，BD=AC，∠ABD=20°，，求证：∠ACE=90°。