高等数学导数讲解（高等数学12）

今天我们学习曲线的凹凸性、拐点、渐近线、弧微分与曲率公式。

看起来很多的样子，但实际上非常简单，至少比前几节简单~~

这一节的标题是导数的应用，没错，我们只要求导就行了，而且最多只涉及到二阶导数。

设f(x)在[a,b]上连续，在（a,b)上二阶可导，那么

（1）若在(a, b） f^''(x)>0(f(x)的二阶导数大于0)，则f(x)在[a,b]上的图形是凹的；

（2）若在(a, b) f^''(x)<0，则f(x)在[a,b]上的图形是凸的。

凸函数

凹函数

如果一个曲线在区间A上连续且经过一点（x,y)时，凹凸性发生了改变，那么就称点(x,y)为曲线的拐点。

我们可以通过以下三个步骤找到拐点：

（1）求出曲线的二阶导f^''(x);

（2）解出方程f^''(x)=0在区间A内的实根x ，并求出在区间A内f^''(x)不存在的点；

（3）检验f^''(x)在解出的实根x或二阶导数不存在的点的左右两侧的符号，当两侧符号相反时，点(x,y)是拐点，否则点（x,y）就不是拐点。

设y=f(x)

（1）水平渐近线：y=c， 即函数在趋于无穷大时永远无法触及只能逼近的那根线（这里的c等于当x趋近于无穷大时f(x)的值）；

如：

（2）铅直渐近线：即当x趋近于c时，f(x)的值为无穷大，则x=c是f(x)的铅直渐近线；

如：

（3）斜渐近线：y=ax b

如：

（1）弧微分公式：设s=s(x)，则

（2）曲率公式：

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