高中数学63套常用的解题方法大全（冯跃峰高考数学秘笈）

冯跃峰四步解题法是一种行之有效的思维方法当然，你不可能一下就完全掌握它的所有内容，但只要逐步熟悉了它的某些环节，对解题能力的提高也是颇有裨益的，我来为大家科普一下关于高中数学63套常用的解题方法大全?下面希望有你要的答案，我们一起来看看吧!

高中数学63套常用的解题方法大全

冯跃峰

四步解题法是一种行之有效的思维方法。当然，你不可能一下就完全掌握它的所有内容，但只要逐步熟悉了它的某些环节，对解题能力的提高也是颇有裨益的。

本节介绍“四步解题法”的第一环节的任务之一：“明确目标”。

所谓明确目标，就是确立解题的目标状态，做到“胸有目标”，一切思考与推理都围绕着目标而展开。

在数学解题中，明确目标并没有得到人们的足够重视。有的解题者甚至连题目都没有读完，就忙于作答；有的解题者虽然能先了解一下问题的结论，但不能从结论中充分获取有关信息去指导解题，总习惯于从条件出发，盲目进行各种推理或演算，这无异于瞎碰乱闯。到头来，密密麻麻写了一片，解题还是不得要领，导致解题的失败。

我们看下面的例子。

例1、椭圆的一个焦点分其长轴的比为，求椭圆的离心率。

【误解】 设椭圆的长轴和短轴的长、焦距分别为2a、2b、2c，则依题意，有

= ①

做到此处，有些解题者抓不住变形方向，而是看到①式右边含有根号，误以为将根号去掉，可使运算简单。于是，①式两边平方，得

= ，

去分母，得2（a c） ²=3（a-c） ²。

展开、合并，得a² c²-10ac=0 ②

由于解题者对变形的目标不明确，做到此处，便不知如何作下去，解题终归半途而发。

反之，如果一开始就抓住目标，并且在变形中时刻注意靠近目标，那么变形就会减少盲目性，能在茫茫的思绪中找到点燃胜利之光的火花。

实际上，本题的目标是要求出比值 c:a，这样，在得到①式后，就应思考如何变形才能产生 c:a。也就是说，要设法由①凑出一些c/a来。

和上一篇介绍的2021年那个高考题一样，这可从局部突破：考察其中的字母“c”，凑出c/a，需要将其配上分母a，由此想到对分式的分子、分母分别除以a即可。

但为了使式子变得简单，可先去分母化为整式，然后再实施凑配。

于是，由①得 （a c）=（a-c），

两边同时除以a，得

（1 e）=（1-e），其中e=c/a。

解上述关于e的方程，即得离心率e=5-2。

由此可见，变形中始终不忘解题目标是保证解题顺利进行的重要条件。而且，即使开始时沒有注意到目标，走了一段“弯路”，但只要及时“抬头看路”，把握前进的方向，还是能使解题重回正轨。

如本题，在得到等式②后，若尚能抓住目标c:a，则仍可找到正确的变形使解题通向成功。

实际上，②式两边同时除以a²，得1 e²-10e=0。

再根据0<e<1，舍去一解e=5 2，即得正确答案：

e=5-2。

也可视②中的c为常数，解关于a的一元二次方程，得出 a与c的关系；或运用比例性质亦可求出c:a。

总而言之，本题不管采用什么解法，都使我们看到解题中明确目标的重要性。如果解题者对解题目标胸中无数，就会盲目地对条件进行变形，这就很难导出有用的结果。即使一些有用的结果产生了，也会因目标不确而失之交臂。

我们再举一个例子。

例2、已知cosα cosβ=a ①，

sinα sinβ=b ② ，

求cos（α β）。

【误解】目标为：cos（α β）=常数。

一些同学看到这个目标，马上联想到相似知识，将目标状态变为：

cosαcosβ-sinαsinβ=常数。

而题设条件中含有sinα、cosα、sinβ、cosβ，又想到利用公式：

sin²α cos²α=1，sin²β cos²β=1。

于是，①² ②²，得

2 2sinαsinβ 2cosαcosβ=a² b²，

由此得cos（α-β）=（α² b²-2）/2 ③

注意到③中的cos（α-β）与目标cos（α β）相差一个符号，由此想到调整原有变形，由①²-②²，得

cos²α-sin²α cos²β-sin²β 2cosαcosβ-2sinαsinβ=a²-b²，

由此得cos2α cos2β 2cos（α β）=a²-b² ④

至此，似乎无法消去上式中的“cos2α cos2β”，仍无法求出cos（α β）。

这样，解题者便怀疑原有思路的正确性，从而别开上述结果，重新进行尝试：

①×②，得sinαcosα sinβcosβ cosαsinβ cosβsinα=ab，

即（sin2α）/2 （sin2β）/2 sin（α β）=ab ⑤

此式与目标相距更远!这样，便不知如何做了。有的解题者甚至还尝试着考察① ②，①-②等等，真是使尽浑身解数，还是收效甚微。

究其失败的原因，是解题者未能把握住解题目标的本质，对有用的信息未能产生有效的反应。

正确的解法如下：

【分析与解】首先，本题的目标状态是：cos（α β）=常数。

一般地说，我们的眼光不能囿于原始目标这个点上，而应该在更宽泛的范围去理解目标，我们将这个“宽泛的范围”称之为面，目标状态称为点，通过以面带点，准确地把握目标的特征。

对于本题，其目标可理解为：关于角α β的一个三角函数值（不一定求余弦，得到其它三角函数值是可以转化为余弦的）。

在这种理解下，自然想到在条件中设法构造角α β，这才是正确的把握了目标。瞄准这一目标，变形就变得清晰而自然了。

为构造角α β，自然想到①、②两式左边和差化积，得

2coscos =a，

2sin cos =b。

与目标比较，只需消去cos 。

于是，两式相除，得

tan=。

现在再瞄准目标，发现只需将目标中的“α β”转化为“”，将余弦转化为正切，即可利用这一中间结果。

这很容易联想到相似知识：能同时实现这两个转化的公式是“万能公式”

——cos（α β）=，

其中t= tan。

于是，cos（α β）=

=

=。

解题顺利获得成功。

同上例一样，即使开始时走了一些弯路，但只要及时瞄准目标：构造角α β，便可以使解题重回正轨。

比如，前面得到④式后，已经产生了角α β，只需将剩余部分的cos2α cos2β也转化为角α β的函数即可。

由此想到和差化积，于是④可变为

2cos（α β）cos（α-β） 2cos（α β）=a²-b²。⑥

将⑥与目标比较，发现只须消去cos（α-β）。这利用等式③，问题便可获解。

由以上两个例子可以看出，如果我们解题中能瞄准目标，并能准确地把握目标，则思维就会变得非常具体，变形或推理就具有目的性和对对性，也就可有效避免一些不必要的演算或推理，使解题顺利走向成功。

一旦解题遇到困难，甚至发现自己在“绕圈子”，那么，你首先应考虑的问题是“我究竟在干什么?”也就是说，你应该停下来，静心地想一想你所做的工作是否对准了你的目标?目标是否正确?能否更换一个目标?当你一旦发现自己的行动与目标的差距时，你就会恍然大悟，找到正确的解题途径了。

我们看一个逻辑方面的例子。

例3、某国有说谎和说真话的两种人，说谎者句句谎言，说真话者句句为真。在一次闲聊中，A说B和C两人都说谎，而B矢口否认，但C说B确实说谎。试问这三人中究竟有几人说谎?

请你先思考一下，本题的目标是什么?然后再试试能否得到正确答案。

在解决这类逻辑问题时，通常应把所有可能的情形列成表格，以便从表格揭示的各种关系中找到解题途径，也许你对眼前这道题也作了类似的尝试吧?但你决不会成功，因为你这样来解题时，已经把题目的目标改变了！

实际上，原题的目标是判断三人中有几个人说谎，而不是判断谁在说谎，通过这一提示，你也许能找到问题的答案了。

尽管我们不能判断B、C谁在说谎，但可以断定他们两人中恰有一个人说谎，这是因为他们两人的话是对立的，不能同真或同假。由此还可推断A的话为假，因为B和C不可能都说谎。于是，本题的答案是：三人中恰有两人说谎。

但是，除可断定A说谎外，B、C两人谁究竟说谎？根据本题的条件是无法确定的。如果你立足于讨论谁在说谎，那么你就永远也找不到答案。

由此可见，随意地改变问题的目际，尽管你认为他们之间无多大差别，甚至几乎是一致的，都可能使问题面目全非，这就充分说明了正确把握目标的重要性。

那么，解题中怎样才能准确地把握解题目标呢？对此，我们将在后面的文章中详细介绍。

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