高中数学63套常用的解题方法大全(冯跃峰高考数学秘笈)

冯跃峰四步解题法是一种行之有效的思维方法当然,你不可能一下就完全掌握它的所有内容,但只要逐步熟悉了它的某些环节,对解题能力的提高也是颇有裨益的,我来为大家科普一下关于高中数学63套常用的解题方法大全?下面希望有你要的答案,我们一起来看看吧!

高中数学63套常用的解题方法大全(冯跃峰高考数学秘笈)

高中数学63套常用的解题方法大全

冯跃峰

四步解题法是一种行之有效的思维方法。当然,你不可能一下就完全掌握它的所有内容,但只要逐步熟悉了它的某些环节,对解题能力的提高也是颇有裨益的。

本节介绍“四步解题法”的第一环节的任务之一:“明确目标”。

所谓明确目标,就是确立解题的目标状态,做到“胸有目标”,一切思考与推理都围绕着目标而展开。

在数学解题中,明确目标并没有得到人们的足够重视。有的解题者甚至连题目都没有读完,就忙于作答;有的解题者虽然能先了解一下问题的结论,但不能从结论中充分获取有关信息去指导解题,总习惯于从条件出发,盲目进行各种推理或演算,这无异于瞎碰乱闯。到头来,密密麻麻写了一片,解题还是不得要领,导致解题的失败。

我们看下面的例子。

例1、椭圆的一个焦点分其长轴的比为,求椭圆的离心率。

【误解】 设椭圆的长轴和短轴的长、焦距分别为2a、2b、2c,则依题意,有

= ①

做到此处,有些解题者抓不住变形方向,而是看到①式右边含有根号,误以为将根号去掉,可使运算简单。于是,①式两边平方,得

= ,

去分母,得2(a c) ²=3(a-c) ²。

展开、合并,得a² c²-10ac=0 ②

由于解题者对变形的目标不明确,做到此处,便不知如何作下去,解题终归半途而发。

反之,如果一开始就抓住目标,并且在变形中时刻注意靠近目标,那么变形就会减少盲目性,能在茫茫的思绪中找到点燃胜利之光的火花。

实际上,本题的目标是要求出比值 c:a,这样,在得到①式后,就应思考如何变形才能产生 c:a。也就是说,要设法由①凑出一些c/a来。

和上一篇介绍的2021年那个高考题一样,这可从局部突破:考察其中的字母“c”,凑出c/a,需要将其配上分母a,由此想到对分式的分子、分母分别除以a即可。

但为了使式子变得简单,可先去分母化为整式,然后再实施凑配。

于是,由①得 (a c)=(a-c),

两边同时除以a,得

(1 e)=(1-e),其中e=c/a。

解上述关于e的方程,即得离心率e=5-2。

由此可见,变形中始终不忘解题目标是保证解题顺利进行的重要条件。而且,即使开始时沒有注意到目标,走了一段“弯路”,但只要及时“抬头看路”,把握前进的方向,还是能使解题重回正轨。

如本题,在得到等式②后,若尚能抓住目标c:a,则仍可找到正确的变形使解题通向成功。

实际上,②式两边同时除以a²,得1 e²-10e=0。

再根据0<e<1,舍去一解e=5 2,即得正确答案:

e=5-2。

也可视②中的c为常数,解关于a的一元二次方程,得出 a与c的关系;或运用比例性质亦可求出c:a。

总而言之,本题不管采用什么解法,都使我们看到解题中明确目标的重要性。如果解题者对解题目标胸中无数,就会盲目地对条件进行变形,这就很难导出有用的结果。即使一些有用的结果产生了,也会因目标不确而失之交臂。

我们再举一个例子。

例2、已知cosα cosβ=a ①,

sinα sinβ=b ② ,

求cos(α β)。

【误解】目标为:cos(α β)=常数。

一些同学看到这个目标,马上联想到相似知识,将目标状态变为:

cosαcosβ-sinαsinβ=常数。

而题设条件中含有sinα、cosα、sinβ、cosβ,又想到利用公式:

sin²α cos²α=1,sin²β cos²β=1。

于是,①² ②²,得

2 2sinαsinβ 2cosαcosβ=a² b²,

由此得cos(α-β)=(α² b²-2)/2 ③

注意到③中的cos(α-β)与目标cos(α β)相差一个符号,由此想到调整原有变形,由①²-②²,得

cos²α-sin²α cos²β-sin²β 2cosαcosβ-2sinαsinβ=a²-b²,

由此得cos2α cos2β 2cos(α β)=a²-b² ④

至此,似乎无法消去上式中的“cos2α cos2β”,仍无法求出cos(α β)。

这样,解题者便怀疑原有思路的正确性,从而别开上述结果,重新进行尝试:

①×②,得sinαcosα sinβcosβ cosαsinβ cosβsinα=ab,

即(sin2α)/2 (sin2β)/2 sin(α β)=ab ⑤

此式与目标相距更远!这样,便不知如何做了。有的解题者甚至还尝试着考察① ②,①-②等等,真是使尽浑身解数,还是收效甚微。

究其失败的原因,是解题者未能把握住解题目标的本质,对有用的信息未能产生有效的反应。

正确的解法如下:

【分析与解】首先,本题的目标状态是:cos(α β)=常数。

一般地说,我们的眼光不能囿于原始目标这个点上,而应该在更宽泛的范围去理解目标,我们将这个“宽泛的范围”称之为面,目标状态称为点,通过以面带点,准确地把握目标的特征。

对于本题,其目标可理解为:关于角α β的一个三角函数值(不一定求余弦,得到其它三角函数值是可以转化为余弦的)。

在这种理解下,自然想到在条件中设法构造角α β,这才是正确的把握了目标。瞄准这一目标,变形就变得清晰而自然了。

为构造角α β,自然想到①、②两式左边和差化积,得

2coscos =a,

2sin cos =b。

与目标比较,只需消去cos 。

于是,两式相除,得

tan=。

现在再瞄准目标,发现只需将目标中的“α β”转化为“”,将余弦转化为正切,即可利用这一中间结果。

这很容易联想到相似知识:能同时实现这两个转化的公式是“万能公式”

——cos(α β)=,

其中t= tan。

于是,cos(α β)=

=

=。

解题顺利获得成功。

同上例一样,即使开始时走了一些弯路,但只要及时瞄准目标:构造角α β,便可以使解题重回正轨。

比如,前面得到④式后,已经产生了角α β,只需将剩余部分的cos2α cos2β也转化为角α β的函数即可。

由此想到和差化积,于是④可变为

2cos(α β)cos(α-β) 2cos(α β)=a²-b²。⑥

将⑥与目标比较,发现只须消去cos(α-β)。这利用等式③,问题便可获解。

由以上两个例子可以看出,如果我们解题中能瞄准目标,并能准确地把握目标,则思维就会变得非常具体,变形或推理就具有目的性和对对性,也就可有效避免一些不必要的演算或推理,使解题顺利走向成功。

一旦解题遇到困难,甚至发现自己在“绕圈子”,那么,你首先应考虑的问题是“我究竟在干什么?”也就是说,你应该停下来,静心地想一想你所做的工作是否对准了你的目标?目标是否正确?能否更换一个目标?当你一旦发现自己的行动与目标的差距时,你就会恍然大悟,找到正确的解题途径了。

我们看一个逻辑方面的例子。

例3、某国有说谎和说真话的两种人,说谎者句句谎言,说真话者句句为真。在一次闲聊中,A说B和C两人都说谎,而B矢口否认,但C说B确实说谎。试问这三人中究竟有几人说谎?

请你先思考一下,本题的目标是什么?然后再试试能否得到正确答案。

在解决这类逻辑问题时,通常应把所有可能的情形列成表格,以便从表格揭示的各种关系中找到解题途径,也许你对眼前这道题也作了类似的尝试吧?但你决不会成功,因为你这样来解题时,已经把题目的目标改变了!

实际上,原题的目标是判断三人中有几个人说谎,而不是判断谁在说谎,通过这一提示,你也许能找到问题的答案了。

尽管我们不能判断B、C谁在说谎,但可以断定他们两人中恰有一个人说谎,这是因为他们两人的话是对立的,不能同真或同假。由此还可推断A的话为假,因为B和C不可能都说谎。于是,本题的答案是:三人中恰有两人说谎。

但是,除可断定A说谎外,B、C两人谁究竟说谎?根据本题的条件是无法确定的。如果你立足于讨论谁在说谎,那么你就永远也找不到答案。

由此可见,随意地改变问题的目际,尽管你认为他们之间无多大差别,甚至几乎是一致的,都可能使问题面目全非,这就充分说明了正确把握目标的重要性。

那么,解题中怎样才能准确地把握解题目标呢?对此,我们将在后面的文章中详细介绍。

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