高三数学小题大解（高考微点一　集合与常用逻辑用语）

高考微点一　集合与常用逻辑用语

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

牢记概念公式，避免卡壳

1.是一个集合，含有0个元素；但{0}是以0为元素的单元素集，{0}.

2.四种命题的相互关系

3.全称量词与存在量词

全称命题p：x∈M，p(x)的否定为特称命题綈p：x0∈M，綈p(x0)；

特称命题p：x0∈M，p(x0)的否定为全称命题綈p：x∈M，綈p(x).

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1.集合{a1，a2，a3，…，an}的子集的个数为2n，真子集的个数为2n－1，非空真子集的个数为2n－2.

2.集合运算的等价关系

∁U(A∪B)＝∁UA∩∁UB，

∁U(A∩B)＝∁UA∪∁UB.

3.利用等价命题判断充要条件问题：如p是q的充分条件，即命题"若p，则q"真，等价命题是"若綈q，则綈p"真，即綈q是綈p的充分条件.

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1.已知集合A＝{x|x2－x－2>0}，则∁RA＝(　　)

A.{x|－1<x<2}

B.{x|－1≤x≤2}

C.{x|x<－1}∪{x|x>2}

D.{x|x≤－1}∪{x|x≥2}

解析　法一　A＝{x|(x－2)(x＋1)>0}＝{x|x<－1或x>2}，所以∁R A＝{x|－1≤x≤2}.

法二　因为A＝{x|x2－x－2>0}，所以∁RA＝{x|x2－x－2≤0}＝{x|－1≤x≤2}.

答案　B

2.若命题p：x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，sin x<x，则綈p为(　　)

A.x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，sin x≥x

B.xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，sin x≥x

C.x0∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，sin x0≥x0

D.x0∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，sin x0≤x0

解析　全称命题的否定是特称(存在性)命题，据此可知：若命题p：x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，sin x<x，

则綈p：x0∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，sin x0≥x0.

答案　C

3.已知集合A＝{x|y＝eq \r(1－x2)，x∈R}，B＝{x|x＝m2，m∈A}，则(　　)

A.AB B.BA

C.AB D.B＝A

解析　易知A＝{x|－1≤x≤1}，

所以B＝{x|x＝m2，m∈A}＝{x|0≤x≤1}.

因此BA.

答案　B

4.(2019·天一"顶尖计划"大联考)已知集合A＝{x|y＝ln x}，集合B＝{x∈Z|x2≤3}，则(∁R A)∩B＝(　　)

A.{－1，0} B.{0，1}

C.{－1} D.{1}

解析　由A＝{x|x>0}，知∁R A＝(－∞，0].

又B＝{x∈Z|x2≤3}＝{－1，0，1}，

因此(∁R A)∩B＝{－1，0}.

答案　A

5.已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为(　　)

A.9 B.8

C.5 D.4

解析　由题意知A＝{(－1，0)，(0，0)，(1，0)，(0，－1)，(0，1)，(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}，故集合A中共有9个元素.

答案　A

6.设A＝{x|x2－4x＋3≤0}，B＝{x|ln(3－2x)<0}，则图中阴影部分表示的集合为(　　)

A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x<\f(3,2)))

B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|1<x<\f(3,2)))

C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|1≤x<\f(3,2)))

D.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)<x≤3))))

解析　A＝{x|x2－4x＋3≤0}＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|ln(3－2x)<0}＝{x|0<3－2x<1}＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(1<x<\f(3,2))))).

图中阴影部分表示的集合为A∩B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(1<x<\f(3,2))))).

答案　B

7.(2019·佛山检测)命题"若a，b，c成等比数列，则b2＝ac"的逆否命题是(　　)

A."若a，b，c成等比数列，则b2≠ac"

B."若a，b，c不成等比数列，则b2≠ac"

C."若b2＝ac，则a，b，c成等比数列"

D."若b2≠ac，则a，b，c不成等比数列"

解析　命题"若a，b，c成等比数列，则b2＝ac"的逆否命题是"若b2≠ac，则a，b，c不成等比数列".

答案　D

8.设p：实数x，y满足x>1且y>1，q：实数x，y满足x＋y>2，则p是q的(　　)

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

解析　若x>1且y>1，则x＋y>2，所以pq；反之x＋y>2 x>1且y>1，例如x＝3，y＝0，所以pp.

因此p是q的充分不必要条件.

答案　A

9.已知下列两个命题

p1：存在正数a，使函数y＝2x＋a·2－x在R上为偶函数；

p2：函数y＝sin x＋cos x＋eq \r(2)无零点.

则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：(綈p1)∨p2，q4：p1∧(綈p2)中，真命题是(　　)

A.q1，q4 B.q2，q3

C.q1，q3 D.q2，q4

解析　当a＝1时，y＝2x＋a·2－x在R上是偶函数，所以p1为真命题.当x＝eq \f(5π,4)时，函数y＝sin x＋cos x＋eq \r(2)＝0，所以命题p2是假命题.

所以p1∨p2，p1∧(綈p2)是真命题，故选A.

答案　A

10.已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则"d＞0"是"S4＋S6＞2S5"的(　　)

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

解析　由S4＋S6－2S5＝S6－S5－(S5－S4)＝a6－a5＝d，所以S4＋S6>2S5等价d>0，所以"d＞0"是"S4＋S6＞2S5"的充要条件.

答案　C

11.已知集合A＝{x|x>2}，集合B＝{x|x>3}，以下命题正确的个数是(　　)

①x0∈A，x0B；②x0∈B，x0A；③x∈A都有x∈B；④x∈B都有x∈A.

A.4 B.3

C.2 D.1

解析　因为A＝{x|x>2}，B＝{x|x>3}，所以BA，即B是A的真子集，①④正确，②③错误.

答案　C

12.(2019·南昌质检)已知命题p：x2＋2x－3>0；命题q：eq \f(x－a,x－a－1)>0，且綈q的一个必要不充分条件是綈p，则a的取值范围是(　　)

A.[－3，0] B.(－∞，－3]∪[0，＋∞)

C.(－3，0) D.(－∞，－3)∪(0，＋∞)

解析　法一　由x2＋2x－3>0，得x<－3或x>1.

则綈p对应的集合为A＝{x|－3≤x≤1}.

命题q：x>a＋1或x<a，

则綈q对应的集合为B＝{x|a≤x≤a＋1}.

依题意綈q是綈p的充分不必要条件，所以BA，

故eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a≥－3，,a＋1≤1.))解得－3≤a≤0.

法二　∵綈q的一个必要不充分条件是綈p，

∴綈p是綈q的必要不充分条件，即p是q的充分不必要条件，

p对应的集合C＝{x|x2＋2x－3>0}＝{x|x<－3或x>1}，

q对应的集合D＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\f(x－a,x－a－1)>0))＝{x|x>a＋1或x<a}，

由于p是q的充分不必要条件知，CD，

∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a≥－3，,a＋1≤1，))解得－3≤a≤0.

答案　A

13.能够说明"设a，b，c是任意实数.若a>b>c，则a＋b>c"是假命题的一组整数a，b，c的值依次为________.

解析　a>b>c，取a＝－2，b＝－4，c＝－5，

则a＋b＝－6<c.

答案　－2，－4，－5(答案不唯一)

14.集合A＝{x|x<0}，B＝{x|y＝lg[x(x＋1)]}，若A－B＝{x|x∈A，且xB}，则A－B＝________.

解析　由题意知，B＝{x|y＝lg[x(x＋1)]}＝{x|x(x＋1)>0}＝{x|x<－1或x>0}，则A－B＝{x|－1≤x＜0}.

答案　{x|－1≤x＜0}

15.(2019·安徽江南十校联考)"a＝0"是"函数f(x)＝sin x－eq \f(1,x)＋a为奇函数"的________条件.

解析　显然a＝0时，f(x)＝sin x－eq \f(1,x)为奇函数；

当f(x)为奇函数时，

f(－x)＋f(x)＝sin(－x)－eq \f(1,－x)＋a＋sin x－eq \f(1,x)＋a＝0.

因此2a＝0，故a＝0.

所以"a＝0"是"函数f(x)为奇函数"的充要条件.

答案　充要

16.设命题p：|4x－3|≤1；命题q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，若綈p是綈q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________.

解析　p：|4x－3|≤1－1≤4x－3≤1，∴eq \f(1,2)≤x≤1；

q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0(x－a)[x－(a＋1)]≤0，∴a≤x≤a＋1.

∵綈p是綈q的必要不充分条件，

∴q是p的必要不充分条件，

∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a≤\f(1,2)，,a＋1≥1))(等号不能同时成立)，∴0≤a≤eq \f(1,2).

答案　eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))

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