二倍根号计算方法（不懂根号2怎么推导）

近日，在抖音平台上，某位女留学生“亚洲人数学能力其实很差”的观点引起了广泛争议。她在视频中提到：

就是这个出国留学以后啊，我发现一个我误解多年的事情，亚洲人的数学其实很差，虽然很多人都在吐槽外国人的计算能力。

举个例子，根号二等于多少？脱口而出1.414，π约等于3.14，但是你有思考过这个是怎么推导出来的么？

我们只是知道用公式解题，却不知道为什么能用这个公式。

这也是为什么我高考数学140，但是我真的一点也不了解数学，知其然不知所以然，我只是擅长解题，但从不追究真理。

虽然这位同学的观点有失偏颇，但她至少提出了一个有价值的问题：“根号二等于1.414是怎么推导出来的”。

今天我们就来聊聊这个问题，与各位读者分享根号二的前世今生。

在中文互联网上，根号二常与“第一次数学危机”联系在一起。一种流行的说法是，毕达哥拉斯学派下的成员希帕索斯，偶然间根据老师的“毕达哥拉斯定理”（即勾股定理），发现边长为1的正方形对角线长度（即根号2）无法用有理数表示。

这一发现违背了毕达哥拉斯学派“万物皆数”的教义，因此希帕索斯被同门丢进海里。但毕达哥拉斯学派无法掩盖根号2的存在，从而“万物皆数”的数学大厦轰然倒塌，引发了“第一次数学危机”。

此故事是否是历史的真相已无从考证。不过，可以确定的是，希帕索斯并非第一个发现根号2的人。

在希帕索斯之前的一千多年，约公元前1800年至1600年间，古巴比伦人就发现了根号2。

在编号为YBC 7289的古巴比伦陶泥板上，画着一个正方形和它的两条对角线。对角线长度用一串数字1,24,51,10标注。由于古巴比伦采用六十进制，这串数字可以译作以下公式：

换句话说，古巴比伦人知道边长为1的正方形，其对角线长度大约是1.41421，计算精确到了小数点后5位。

古巴比伦人的发现距今约3700年，了不起的成就。

据数学家推断，古巴比伦人可能用的是下述算法（因而被称为“巴比伦法”）算出根号二的近似值。

令

; 接下来，使用以下递推公式计算：

：

比如：

那么，a₁，a₂，a₃，a₄的数值依次是：

可以看到，a₄的数值已经精确到小数点后11位，与根号2的精确值非常接近，而我们仅仅做了四次迭代计算而已。

使用巴比伦方法，Ron Watkins在2016年将根号2的数值计算到小数点后十万亿（10^13）位。

小学课本上介绍根号二的时候，其实也解释了

的原因：

对于小学生来说，这样的理解已经足够深刻。不过，如果采用这种方法，猜出1.4、1.41、1.414还算容易，而接下来要计算1.4142, 1.41421, 1.414213, …… 则颇费功夫，效率远不如巴比伦法。

巴比伦法看上去非常有效，不过善于思考的读者朋友们或许已经开始犯嘀咕，“凭什么这样算出来的就是根号2呢？”

问得好。要回答这个问题，需要用到相当深刻的数学原理。以下我们长话短说，尽量用人话来解释。

巴比伦法的递推公式是

；倘若我们令

并代入，那么

化简得

毫无疑问

的一个解。

我们得到了

，而这不是一个巧合。事实上，

是递推式

的一个不动点。

换句话说，如果

, 那么

，保持“原地不动”，故名为“不动点”。

根据巴拿赫不动点定理，由于此递推公式在

区间内为一压缩映射，数列{a_n}将收敛于该区间内的不动点

。这就是巴比伦法能不断逼近根号2精确值的原因。

（注：篇幅所限，省略巴拿赫不动点定理的具体描述、压缩映射的定义、递推公式为压缩映射的推导过程）。

巴比伦法其实是牛顿法的一个特例。在实际求解形如f(x)=0的方程的过程中，我们并不总有简单的方法直接求出x的精确数值，而需要近似地求x的数值解。

牛顿法就是最常用求数值解的方法之一，其递推公式如下：

其中，

表示函数f在x_n处的导数。

牛顿法的本质是不断求函数f(x)在x_n处的切线与x轴的交点，以达到逼近正解的目的。下面这张动图形象地解释了牛顿法的原理。

对于求解根号2这个特例，其实我们求的是

这个方程的正数解。那么我们可以记

代入牛顿法的一般递推公式，可得

这还原了巴比伦法的递推公式。

虽然小学生都知道根号2约等于1.414，但推导过程其实已经超出了中学数学的范围——不仅是中国中学数学课本，也包括全世界的数学课本。

无论是牛顿法还是巴拿赫不动点定理，都只有在大学的数学课中才会涉及到。因此，中国学生不了解根号2的推导原理，而英国学生、美国学生、法国学生也不了解。这是一件非常正常的事，并不能说明“亚洲人的数学能力其实很差”。

本文的目的，则是让更多的读者了解，

究竟是怎么来的。希望各位读者阅读本文后有所收获。

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