最吓人的数学定理（贝尔定理如何证明）

作者：Ben Brubaker，Quanta Magazine量子杂志作家 2021-7-20 译者：zzllrr小乐 2021-7-26

我们理所当然地认为，世界某一地区的事件不会立即影响远处发生的事情。这个被物理学家称为局域性的原理长期以来被认为是关于物理定律的基本假设。因此，当阿尔伯特·爱因斯坦和两位同事在 1935 年证明量子力学允许“远距离的幽灵行动”时，正如爱因斯坦所说的那样，该理论的这一特征似乎非常值得怀疑。物理学家想知道量子力学是否遗漏了什么。

然后在 1964 年，北爱尔兰物理学家约翰·斯图尔特·贝尔 (John Stewart Bell) 用一支笔将局域性从一个珍贵的原理降级为一个可检验的假设。贝尔证明，量子力学在某些相距遥远的测量结果中预测的统计相关性比任何局部理论都可能预测的更强。从那以后的几年里，实验一次又一次地证明了量子力学是正确的。

贝尔定理颠覆了我们对物理学最根深蒂固的直觉之一，并促使物理学家探索量子力学如何实现经典世界中难以想象的任务。“现在正在发生的量子革命，以及所有这些量子技术——这 100% 都归功于贝尔定理，”美国国家标准与技术研究所的量子物理学家Krister Shalm说。

阴晴圆缺

困扰爱因斯坦的“幽灵行动”涉及一种称为纠缠的量子现象，在这种现象中，我们通常认为是不同实体的两个粒子失去了独立性。众所周知，在量子力学中，粒子的位置、极化和其他属性在被测量之前是不确定的。然而，测量纠缠粒子的特性会产生高度相关的结果，即使粒子相距很远并且几乎同时测量。一个测量的不可预测的结果似乎会立即影响另一个测量的结果，无论它们之间的距离如何——这是对局部性的严重违反。

要更准确地理解纠缠，请考虑电子和大多数其他称为自旋的量子粒子的特性。自旋粒子的行为有点像小磁铁。例如，当一个电子通过由一对南北磁极产生的磁场时，它会向一个或另一个磁极偏转固定量。这表明电子的自旋是一个只能具有以下两个值之一的量：“向上”表示向北极偏转的电子，“向下”表示向南极偏转的电子。

约翰·斯图尔特·贝尔站在黑板上。

1982 年，约翰·斯图尔特·贝尔在欧洲粒子物理实验室 CERN 讲授他的定理。

欧洲核子研究中心

想象一个电子穿过一个区域，北极正上方，南极正下方。测量其偏转将揭示电子的自旋沿垂直轴是“向上”还是“向下”。现在将磁极之间的轴从垂直方向旋转，并测量沿这个新轴的偏转。同样，电子将始终向其中一个极偏转相同的量。您将始终沿任何轴测量二进制自旋值 - 向上或向下。

事实证明，不可能构建任何可以同时测量粒子沿多个轴的自旋的探测器。量子理论断言，自旋探测器的这种特性实际上是自旋本身的一种特性：如果电子沿一个轴具有确定的自旋，则它沿任何其他轴的自旋都是不确定的。

局部隐藏变量

有了对自旋的这种理解，我们就可以设计一个思想实验来证明贝尔定理。考虑一个纠缠态的具体例子：一对总自旋为零的电子，这意味着沿任何给定轴测量它们的自旋总是会产生相反的结果。这种纠缠态的非凡之处在于，尽管总自旋沿所有轴都有这个确定值，但每个电子的自旋是不确定的。

假设这些纠缠的电子被分离并传输到遥远的实验室，并且这些实验室的科学家团队可以在进行自旋测量时以他们喜欢的任何方式旋转各自探测器的磁铁。

当两个团队沿同一轴进行测量时，他们 100% 的时间都会获得相反的结果。但这是非定域性的证据吗？不必要。

或者，爱因斯坦提出，每对电子可以带有一组相关联的“隐藏变量”，指定粒子同时沿所有轴的自旋。纠缠态的量子描述中没有这些隐藏变量，但量子力学可能无法说明全部情况。

隐藏变量理论可以解释为什么同轴测量总是产生相反的结果而不会破坏局部性：一个电子的测量不会影响另一个电子，而只是揭示隐藏变量的预先存在的值。

贝尔证明，通过测量纠缠粒子沿不同轴的自旋，你可以排除局部隐藏变量理论，甚至完全排除局部性。

首先，假设一组科学家碰巧将其探测器相对于另一个实验室的探测器旋转了 180 度。这相当于交换了它的北极和南极，因此一个电子的“上升”结果永远不会伴随另一个电子的“下降”结果。科学家们还可以选择将它旋转一个介于两者之间的量——比如 60 度。根据两个实验室中磁铁的相对方向，出现相反结果的概率可能介于 0% 和 100% 之间。

在没有指定任何特定方向的情况下，假设两个团队就一组三个可能的测量轴达成一致，我们可以标记为 A、B 和 C。对于每个电子对，每个实验室测量其中一个电子的自旋随机选择三个轴。

现在让我们假设世界是由局部隐藏变量理论而不是量子力学描述的。在这种情况下，每个电子在三个方向的每个方向上都有自己的自旋值。这导致隐藏变量的八组可能值，我们可以用以下方式标记：

例如，标记为 5 的一组自旋值表明第一个实验室中沿 A 轴的测量结果将是“向上”，而沿 B 轴和 C 轴的测量结果将是“向下”；第二个电子的自旋值将相反。

对于任何具有标记为 1 或 8 的自旋值的电子对，无论科学家选择沿哪个轴进行测量，在两个实验室中的测量总是会产生相反的结果。其他六组自旋值在 33% 的不同轴测量中都产生相反的结果。（例如，对于标记为 5 的自旋值，当一个沿 B 轴测量而另一个沿 C 轴测量时，实验室将获得相反的结果；这代表了可能选择的三分之一。）

因此，在至少 33% 的时间沿不同轴测量时，实验室将获得相反的结果；等效地，它们最多有 67% 的时间会获得相同的结果。这个结果——局部隐藏变量理论所允许的相关性的上限——是贝尔定理核心的不等式。

越界

那么，量子力学呢？我们对两个实验室在测量电子沿不同轴的自旋时获得相同结果的概率感兴趣。量子理论方程提供了此概率作为测量轴之间角度的函数的公式。

根据公式，当三个轴都尽可能远地分开时——也就是说，都相距 120 度，如梅赛德斯徽标中那样——两个实验室将在 75% 的时间内获得相同的结果。这超过了贝尔 67% 的上限。

这就是贝尔定理的精髓：如果局部性成立，并且一个粒子的测量不能立即影响远处另一个测量的结果，那么某个实验设置中的结果的相关性不能超过 67%。另一方面，如果纠缠粒子的命运即使跨越很远的距离也有着千丝万缕的联系，就像在量子力学中一样，某些测量的结果将表现出更强的相关性。

自 1970 年代以来，物理学家对贝尔定理进行了越来越精确的实验测试。每一个都证实了量子力学的强相关性。五年来，各种漏洞都被堵上了。局部性——长期以来关于物理定律的假设——不是我们世界的一个特征。

编者按：作者目前是科罗拉多州博尔德市 JILA 的博士后研究员。