二分法可以求任意函数的零点吗（函数零点问题里的二分法）

同学们好，我是李状元数学课的李老师，讲人人都听得懂的高中数学课。

上节课我们讲了求函数零点的几种方法，这节课我们来看一下二分法。

不过在此之前，我们先来看零点存在性定理。这个定理可以说是二分法的依据。

它是这样说的：

如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．

这里面有几个要点，首先图象要连续不断，然后区间两端的函数值异号。其实结合图像我们很容易直观地理解：区间两端的函数值异号，也就是函数图像的两端的点一个在x轴上方，一个在x轴下方。那么如果图像连续不断，就意味着图像必然要穿过x轴，至少要穿过一次，所以函数在这个区间里就有至少一个零点。

理解了零点存在性定理，我们就可以用它来判断零点位于的区间，方法就是二分法。

用二分法求方程f(x)＝0近似解的一般步骤：

第一步：确定一个区间[a0，b0]，使得f(a0)·f(b0)<0.

第二步：取区间(a0，b0)的中点x0＝½(a0＋b0)．

第三步：计算f(x0)的值，得到下列相关结论．

(1)若f(x0)＝0，则x0就是方程f(x)＝0的一个根，计算终止；

(2)若f(a0)·f(x0)<0，则方程f(x)＝0的一个根位于区间(a0，x0)中，令a1＝a0，b1＝x0；

(3)若f(x0)·f(b0)<0，则方程f(x)＝0的一个根位于区间(x0，b0)中，令a1＝x0，b1＝b0.

第四步：取区间(a1，b1)的中点x1＝½(a1＋b1)，重复第二、第三步，……直到第n次，方程f(x)＝0的一个根总在区间(an，bn)中．

第五步：当|an－bn|<ε，(ε是规定的精确度)时，区间(an，bn)内的任何一个值就是方程f(x)＝0的一个近似根．

不过要注意，二分法只适用于求函数f(x)的变号零点．如果像二次函数的图像和x轴相切，只有一个零点并且零点两侧不变号的情况，用二分法就求不到了。

关于二分法的原理和用法，大家明白了吗？下课！