高一一元二次不等式的解法与应用（数学培优9）

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方程与函数联系密切，我们可以用方程思想解决函数问题，也可以用函数思想讨论方程问题.在确定函数解析式中的待定系数、函数图象与坐标轴的交点、函数图象的交点等问题时，常将问题转化为解方程或方程组。

而在讨论方程、方程组的解的个数、解的分布情况等问题时，借助函数图象能获得直观简捷的解答.

二次函数y=ax2 bx c(a≠0)，令y=0，则得ax2 bx c=0，这是一个关于x的一元二次方程，它们的联系表现在：方程实根的个数、抛物线与x轴交点的个数的探讨都可转化为由根的判别式△来讨论，特别地，设A(x1，0)，B(x2，0)为抛物线与x轴的两个不同交点，则

⑴ x1 ⅹ2=-b/a，x1x2=c/a；

⑵ AB=lx2-ⅹ1l=√b2-4ac/lal。

1 若函数y=mⅹ2 (m 2)x 1/2m 1的图象与x轴只有一个交点，则m的值为______。

[解答]

当m=0时，函做为y=2x 1，其图象与x轴只有一个交点。

当m≠0时，△=0,即

(m 2)2-4m(1/2m 1)=0。

解得：m=土2.

∴当m=0,或m=土2时，函数

y=mx2 (m 2)x 1/2m 1的图象与x

轴只有一个交点。

故答案为：0或2或-2.

[解析]

当m=0时，函数为一次函数与x轴有一个交

一个交点；

当m≠0时，△=0时，抛物线与ⅹ轴只有一个交点。

1.二次函数与-轴交点的计算

二次函数与x轴交点的计算一般转化为当

0=aⅹ2 bx c的方程的根的问题，也可用

△=b2-4ac进行判断.

△>0二次函数与x轴交点有2个

△=0二次函数与ⅹ轴交点有1个

△<0二次函数与x轴没有交点

2.二次函数与y轴交点为(0，c)。

2已知关于x的一元二次方程：

x2-(m-3)x-m=0

⑴ 证明原方程有两个不相等的实数根；

⑵ 若抛物线y=x2-(m-3)x-m与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，则A，B两点间的距离是否存在最大或最小值?若存在，求出这个值；若不存在，请说明理由.(友情提示：AB=|x1-x2l)。

[解答]

本题主要考查二次函数与一元二次方程的联系。

⑴ 根据一元二次方程根的判别式公式可求出△，再根据△>0，判断原方程有两个不相等的实数根即可。

⑵ 根据题意可知原方程的根为x1、x2，根据一元二次方程根与系数的关系可知x1 x2=m-3，x1x2=-m,用含m的式子将AB2表示出来，根据二次函数的性质可求出AB2的最小值，进而可得到AB的最小值。

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