数学的基本思维（是因为我们没有机会看到自己的数学天分国际数学日）

《数学面前，人人平等：数学为何能让世界更美好》，[加]约翰·麦顿著，柒线译，上海社会科学院出版社丨青豆书坊，2022年3月。

每一个社会都受困于一些看不见的问题，因为它们是隐形的，因此格外难以解决。一个社会有时直到崩溃才能让阻碍它进步的问题暴露出来，而这一过程可能需要数个世纪之久。

古希腊人曾是非凡的创新者。他们建立了首个民主政治，取得了数量惊人的数学与科学突破。然而这个伟大的进步社会被他们自己看不见的潜在问题妨碍了。即使是公元前400年最开明的思想家，也依然相信女人比男人低等，而奴隶制对于奴隶和奴隶主一样是好的。相当令人寒心的是，亚里士多德写道：有些人天生是主人，而另一些人仅仅适合充当“活着的工具”。古希腊人无法解决他们时代最严重的问题，因为他们无法设想一种更加公平的社会。

在创造公平竞争的环境方面，旨在给每个人公平机会的法律与宪法，只取得了部分成功。这是因为，我们社会中最严重的差异并非单纯是法律或政治上的不平等造成的，而是某种更微妙、更普遍的不平等形式导致的，这种不平等很难被看见。这种不平等似乎是社会与政治力量或资本主义缺陷的副产品，但我相信它主要是由于我们对人类潜能的无知而造成的。

在发达世界，这种不平等对富人子女的影响和对穷人子女的影响可能同样大（虽然财富的确能帮助缓和其后果）。在许多方面，它都是其他不平等现象的根本原因。我把这种不平等称为“智力不平等”，而且我认为它可以被轻易根除，特别是在科学与数学领域。

电影《知无涯者》（2015）剧照。

很多人相信数学本来就是困难的科目

过去20年来，认知科学的研究已经极大改变了科学家看待大脑的方式。研究者发现我们的大脑具有可塑性，在一生的任意阶段都可以学习和发展。与此同时，不断增长的证据显示，绝大多数儿童生来就具有学习任何事物的潜能，特别是当他们被有效的方法教育时。一系列心理学研究指出，专家是学成的而不是天生的，这些研究训练人们发展音乐能力（比如绝对音准），或者显著提高他们的 SAT（美国高中毕业生学术能力水平考试）测试成绩（通过训练让他们更擅长看出类比），这些能力曾被视为是天生的。

菲利普·E·罗斯（Philip E. Ross）在《科学美国人》（Scientific American）发表的《专家思维 》（“The Expert Mind”）的研究调查中指出，这些研究结果对教育有着深远的意义。罗斯写道：与其不断质问“为什么强尼无法阅读”，也许教育者更应该问，“为什么在这个世界上有他不能学会的东西？”

很多人相信数学本来就是困难的科目，只有天生对数字有天赋或早年就展示出数学能力的人才能掌握，但是我将证明数学适合所有年纪的学习者，他们大多都能在其中轻易解锁自己真正的智力潜能。事实上，如果每一个孩子从上学的第一天起，就能被恰当地因材施教，我敢预言，到5年级时，99%的学生都能像目前1%的顶尖学生那样学习并喜欢上数学。

当面对与长期所持信念冲突的证据时，人们常常设法无视该证据或进行曲解。心理学家将这种处理冲突的方式称为“认知失调”（cognitive dissonance）。长久以来关于人类学习能力的认识，我们的社会其实一直处于极端的认知失调状态。我记得早在1990年代，我就在报纸上读到过关于儿童杰出的智力潜能及年长者大脑惊人的可塑性的文章，此后我也读过很多有关这方面的优秀图书，包括大卫·申克（David Shenk）的《我们都是天才》（The Genius in All of Us），卡罗尔·德韦克（Carol Dweck）的《终身成长》（Mindset），我在自己的著作《才能的神话》（The Myth of Ability）与《无知的终结》（The End of Ignorance）中也写过这个议题。

电影《知无涯者》（2015）剧照。

虽然这些研究公开发表已久，但它们的存在却几乎没有改变人们对自己智力能力的看法，以及在家里、学校或工作场合所受的教育方式，这让我觉得很奇怪。这似乎表明，正如古希腊人无法想象一个人人生而自由的世界，尽管有这些证据，我们也无法想象这样一个世界，在这个世界里，几乎每个人生来就具有可以学习与喜欢任何科目的潜能——包括看似困难的数学与科学。

智力层级使每个人都不那么聪明

为表明我们认知失调状态的程度，让我们来举一个例子。当人们抱怨北美教育中的问题时，常常会说，如果美国和加拿大的学生能在国际阅读与数学测试中，表现得像取得最高分国家的学生那样好，这些问题似乎就解决了。像芬兰、新加坡这些被媒体摘出来作为拥有优越教育体系的国家，他们的学生在像PISA之类的标准化测试中数学成绩更好——PISA（Programme for International Student Assessment），指“国际学生评估测试”，每3年进行一次，来自80个国家的15岁学生们都会参与其中。

这些测试的结果值得仔细检视，但相比于它们证明教育的好坏，其实它们更多地反映出我们对于孩子及其潜能的信念。从人们谈论测试的方式上，你能清楚地看到他们对普通学生的在校成绩有着怎样的期望。

在PISA测试中，数学要得到5级至6级分数的话，需要接受大学的课程；3级或以下的得分则意味着，测试者很难胜任需要大量超过基本数学知识的工作。2015年，仅有6%的美国学生与15%的加拿大学生得分达到5级或6级，相较而言，芬兰学生有12%达到这个程度，新加坡学生有35%。然而，在芬兰有大约55%的学生得分在3级或以下，新加坡也有约40%学生的得分在此水平。（美国与加拿大相应的结果分别是79%与62%。）

很多人建议美国教育者，应该找出那些表现最好的国家的数学是怎么教的，然后就可以在美国施行同样的教法。我期待这是一个好主意，但我们可能也想探究，在培养出如此优秀的学生的国家，怎么仍有几乎半数的人学到的知识如此之少。回答这个问题与模仿其他国家的教育实践一样，能帮助我们改进数学教育。

学生在数学成绩上的巨大差异似乎是自然的。在每一个国家、每一所学校，仅有小部分学生被期望能爱上数学学习或表现出众。在我访问过的不同国家的多所学校里，我总是看到在小学毕业时，众多小学生的水平其实落后了两、三个年级。我的家乡安大略省，孩子们在国际测试中的表现相当好，而在2018年的省级考试中，只有不到50%的6年级学生达到年级标准。在其他科目上，尤其是科学这门课，总能看到同样的差异。

在我教导孩子和成人的工作经历中，我看到了大量证明数学能力极具变化性的证据，教师非常简单的干预就能让成绩产生极大的提升。一项由加拿大小学班级参与的案例研究，反映了我们对普通人数学能力的低估程度。该研究首先被《纽约时报》报道，后来被《科学美国人·脑科学》杂志做了专题。2008年秋天，多伦多一位老师玛丽·简·莫罗（Mary Jane Moreau）让她的5年级学生接受了TOMA（Test of Mathematical Abilities，数学能力测试）标准化测试。

下图显示了这个班级的测试分数分布。该班的平均分数在第54个百分位1，最低成绩在第9百分位2，最高成绩在第75百分位。这种分数差异表示，在该班最好的学生与最差的学生之间相差三个年级的跨度。（该班1/5的学生曾被诊断有学习障碍。）

* 根据TOMA（数学能力测试）常模参照的结果而进行的班级百分位数排名。

智力上的不平等，

主要并不是经济或阶层问题

在我的访谈与培训课程中，我曾调研过数百位5年级老师，他们都报告了各自学生中相似的差异性。这些差异随着学生的年龄增长还会变得更加显著。到高中时，许多学生被“分流”到应用性或基础性课程中，而其他人则努力跟上学术性课程。莫罗的学生们就读于一家很好的私立学校。他们的测试结果表明，我们在一定程度上已经接受了这些不平等是自然的。即使是最富裕的父母，也乐于将他们的孩子送进那些在个体学生之间制造巨大成绩差异的学校，这反映出这种智力上的不平等主要并不是经济或阶层问题。

我在一所地方教师学院做了一场有关JUMP数学课程的演讲，在这之后，玛丽·简·莫罗介绍了自己，我因此和她相识。她是一位有创新精神的教师，曾在一家名叫“儿童研究所”的实验学校任教，后来转到一家私立学校。她对教育研究大有兴趣，也喜欢试验新的教学方法，因此她决定亲自来研究JUMP项目。

在对她的学生进行TOMA测试之后，她放弃了自己通常用的方法，即将各种能找到的最好材料拼成课程，而开始严格遵循JUMP课程的教学计划。这意味着教授概念与技巧的步骤比她通常遵循的步骤要少得多，不断提问与布置练习和活动，以评估学生知道了什么，经常练习与回顾评估，最重要的是，通过给学生难度递增的挑战，让一个概念建立在另一个概念的基础之上，来营造学生的兴奋感。

经过一年的JUMP教程之后，莫罗让其已进入6年级的学生重新进行了TOMA测试。学生的平均成绩已上升至第98个百分位，而最低成绩在第95个百分位。在6年级期末，莫罗整个班都报名参加了“毕达哥拉斯数学竞赛”——这是针对6年级学生的久负盛名的竞赛。最强的一个学生在竞赛当天缺席了，但在参加了竞赛的17个学生中，有14人获得优秀奖，另外3人紧随其后。参加毕达哥拉斯竞赛的学生，一般平时成绩都在前5%，而莫罗这个班的学生（起初他们并不引人瞩目）获得的平均成绩比参加该竞赛所有学生的平均分数都要高。

纪录片《数学的故事》（2008）剧照。

目前，这仅是一个案例研究。但莫罗的学生们不是外星人，他们的大脑与其他常规班级的学生是一样的。与此同时，JUMP参与了更大范围的研究与试验，结果显示出孩子有比我们所期望的更大的能力。（有关JUMP试验结果的综述，请在jumpmath网站选择“Programs”即项目，再选择“Research”即研究，进行查阅。）

莫罗班里最具挑战难度的那名10岁学生，在仅仅1年之后，她的TOMA成绩就从第9个百分位上升到了第95个百分位1。正如10岁的头脑可塑性已经比更年幼学生小，因此可以合理地推论，假如莫罗的这位学生能够在更早的时候接受能够提升能力和思维方式的数学课程，她应该能在5年级时取得更出色的成绩。基于我对数以千计孩子的观察，我相信绝大多数5年级学生（可能多达99%）都能够做到那些被给予厚望的优秀学生能做到的事情——如果他们一直有像玛丽·简这样的老师的话。

教师可以轻易地创造出

更公平、更有成效的学习环境

我曾到莫罗的班里上过一堂课。学生们全都对数学充满兴奋，并坚持让我给他们出越来越难的题目。在某个情境下，他们教了我关于除法类型的某个知识——这个东西我完全忘记了。另一个情境是，在课堂的最后，当我试图与莫罗交接时，她的学生要求她在离开班级之前出一个额外的题目给他们——她实际上已经将题目写在黑板上，但忘记将遮挡题目的那张纸拿掉。

我在许多班级里都见过与此相同的热烈景象。我看见学生变得对数学如此热爱，他们请求在课间休息时留下来，好继续完成他们的作业，或者主动要求额外的暑假作业。有一次我分开两个打架的学生，所用的办法甚至是告诉那个挑起事端者：如果他不道歉，我将不会给他附加题。然后他道歉了——为了一道数学附加题！

电影《知无涯者》（2015）剧照。

很多人认为，教师总要被迫在帮助更弱的学生跟上进度与允许更强的学生再进一步之间做出艰难的选择。但是莫罗的试验结果清楚地显示，老师不必做此种选择。在采用JUMP课程之后，学生的TOMA最低分数到达了第95个百分位，比采用JUMP之前的最高分数整整高出20个百分位。难以置信的是，教师可以在帮助初始较弱的学生提升的同时，也能帮助最强的学生尽展其潜能。莫罗班上最强的学生们在5年级的表现比他们以往在校的任何时候都要好，部分原因是整个班级都在进步。

在6年级里，莫罗的所有学生都迅速通过了6年级的数学课程，并且学习了一半7年级的课程。一些最弱学生的最终表现超过了起初更强的学生。

莫罗能够如此戏剧性地改变班级成绩的钟形曲线，是因为她让所有学生都感到他们能完成大致同样的事情。在她的教室里，学生们争相努力去解决问题，而不是相互攀比。他们沉浸在同伴们的兴奋之中，这种兴奋帮助他们更深地投入其中，记住他们所学到的，并在面对挑战时百折不挠。他们被鼓励去学习，并且爱上学习本身，而不是因为他们害怕失败或希望排名超过其他学生。

我相信，减少在学校（及工作场所）的智力不平等状况，与其他任何我们可能寄望的社会干预措施相比，都能更多地改善这个世界——这不仅是因为不公平的学习环境极其不公正，也因为它们本质上非常低效。这样的环境对任何学习者都没有益处——包括那些处于学术层级顶端的人——因为这种环境会训练学习者轻易放弃，或者让他们为错误的理由努力。它会摧毁我们天然的好奇心，让我们的大脑以最低效的方式运作。而且，它也会阻碍我们培养高效的思维方式。

幸运的是，多个领域的前沿研究指出，在数学这门学科中，教师可以轻易地创造出更公平、更有成效的学习环境——即便是对于年纪更大的学习者来说，也是如此。

本文选自《数学面前，人人平等：数学为何能让世界更美好》，较原文有删节修改，部分小标题为编者所加。已获得出版社授权刊发。

原文作者丨[加]约翰·麦顿

摘编丨安也

编辑丨青青子

导语校对丨王心

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