数学思维和物理思维（数学化的物理与物理思维）

伽利略提出自然的语言是数学。牛顿用数学化的力学使之前的大部分自然哲学变得苍白无力。运用牛顿发明的微积分，物理能够精确预言物体的运动。对于各种问题，数学化的物理会给出一个实打实的答案，不信的可以去实验验证。这就是硬道理。那些玩弄文字游戏的含糊空洞之词从此失去了价值，被逐出了真正学识的殿堂。但物理的数学化并不意味着物理思维是数学思维。综观物理史，极少有物理学家单纯从数学得到灵感，也极少有数学家对物理做出过革命性的贡献。物理直觉与物理灵感在物理学家大脑中的表现形式更多的是图像。

法拉第是个学徒工出身，没读过几天书，数学水平停留在简单的三角函数与代数水平，但他却着手电磁现象的实验与理论研究。基础薄弱的他发明了磁力线这样的图像。麦克斯维尔在看了法拉第的磁力线之后，评论说：法拉第的数学是在一个更高的层次，需要未来的数学家加以发展完善。牛顿提出了引力的超距作用，而法拉第首先使用了“场”（field）的概念。Field 一词的这个用途正是法拉第所创。电磁场理论被麦克斯维尔发展成了一组简洁的微分方程，但相关的物理图像对于我们理解电磁作用仍然是不可缺少的。在物理图像的基础上，相关的微分方程才能获得生命，产生与现实对应的联系。不信的话，可以试着把相关的微分方程给出边界条件，交给一个从未接触过电磁学的数学家，看能否很快得出物理的分析结果。爱因斯坦在发现广义相对论方程之前，已经发表了相关理论的大量论文，基本的物理概念已经非常清楚，剩下的工作已经只是准确锁定引力方程的形式，怎么把引力与曲率对应。庞加莱数学水平远超爱因斯坦，两人同时试图攻克引力方程这一个似乎纯粹数学的问题，但爱因斯坦还是抢先了一步。物理思维不能用数学代替可见一斑。

如果我们相信自然的语言是数学，那么反过来，我们一定能在自然的研究中发现数学。事实确实如此。物理学家会在物理研究中发现新的数学，牛顿的微积分就是一例。很多时候，物理学家也会在研究中发现已有的数学，爱因斯坦的黎曼几何引力理论是一例，DIRAC方程又是一例。DIRAC 想的只是如何将相对论的能量公式开平方，他用 4x4 的矩阵试来试去，凑出了所谓DIRAC矩阵，那时他根本不知道什么 Clifford 代数。杨振宁发现规范场的那篇论文似乎并没有提到 SU（2）群，更没有涉及 tangent bundle 之类的数学。规范场的动力学方程是杨振宁是根据物理上规范不变的要求试出来的，相关的物理图像我在之前的文章中写过，就不必赘述了。杨-米尔斯场给纯粹数学提供了大量的研究课题。费曼的路径积分把无穷多路径的几率加起来，它被物理学用于计算各种量子现象可谓屡试不爽，还被运用于金融等领域，但至今仍没有完整的数学理论。即使在超弦理论这样高度数学化的领域，物理学家仍然大放光彩。Ed Witten 根据物理概念得出的一些数学结论虽然证明不严格，但也获得了数学的最高奖 -Fields Medal。

那么物理学家怎么思维呢？物理思维的起点应该是图像思维，然后在图像的基础上进行逐步定量思维，如此循环反复的一个过程。即使在我写的一些物理科普中也可以看出这一点。先有一个图像，弄清楚基本的关系，抓住要点、抛开次要细节，进行定量的计算。下面的图例就是例子。